t-Tests durchführen

Hypothesentests in Python

James Chapman

Curriculum Manager, DataCamp

Zwei-Stichproben-Probleme

Stichproben-Statistiken nach Gruppen einer Variable vergleichen
converted_comp ist numerisch
age_first_code_cut ist kategorial mit Stufen ("child" und "adult")
Werden Nutzer, die als Kind mit dem Programmieren anfingen, höher vergütet als jene, die als Erwachsene starteten?

Hypothesen

$H_{0}$: Die mittlere Vergütung (USD) ist für Erst-Coder als Kind und als Erwachsene gleich.

$H_{0}$: $\mu_{child} = \mu_{adult}$

$H_{0}$: $\mu_{child} - \mu_{adult} = 0$

$H_{A}$: Die mittlere Vergütung (USD) ist für Erst-Coder als Kind höher als für Erst-Coder als Erwachsene.

$H_{A}$: $\mu_{child} > \mu_{adult}$

$H_{A}$: $\mu_{child} - \mu_{adult} > 0$

Gruppenweise Kennzahlen berechnen

stack_overflow.groupby('age_first_code_cut')['converted_comp'].mean()

age_first_code_cut
adult    111313.311047
child    132419.570621
Name: converted_comp, dtype: float64

Teststatistiken

Stichprobenmittel schätzt den Populationsmittelwert
$\bar{x}$ – ein Stichprobenmittel
$\bar{x}_{child}$ – mittlere Vergütung für zuerst als Kind
$\bar{x}_{adult}$ – mittlere Vergütung für zuerst als Erwachsene:r
$\bar{x}_{child} - \bar{x}_{adult}$ – eine Teststatistik
z-Wert – eine (standardisierte) Teststatistik

Teststatistik standardisieren

$z = \dfrac{\text{Stichprobenstatistik} - \text{Populationsparameter}}{\text{Standardfehler}}$

$t = \dfrac{\text{Differenz der Stichprobenstatistiken} - \text{Differenz der Populationsparameter}}{\text{Standardfehler}}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

Standardfehler

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$s$ ist die Standardabweichung der Variable

$n$ ist der Stichprobenumfang (Anzahl Beobachtungen/Zeilen in der Stichprobe)

Unter der Nullhypothese

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$H_{0}$: $\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}} = 0$ $\rightarrow$ $t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) }{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

Rechnungen unter der Nullhypothese

xbar = stack_overflow.groupby('age_first_code_cut')['converted_comp'].mean()

adult    111313.311047
child    132419.570621
Name: converted_comp, dtype: float64 age_first_code_cut

s = stack_overflow.groupby('age_first_code_cut')['converted_comp'].std()

adult    271546.521729
child    255585.240115
Name: converted_comp, dtype: float64 age_first_code_cut

n = stack_overflow.groupby('age_first_code_cut')['converted_comp'].count()

adult    1376
child     885
Name: converted_comp, dtype: int64

Teststatistik berechnen

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

import numpy as np
numerator = xbar_child - xbar_adult
denominator = np.sqrt(s_child ** 2 / n_child + s_adult ** 2 / n_adult)
t_stat = numerator / denominator

1.8699313316221844

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