Quebras estruturais

Gerenciamento Quantitativo de Risco em Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Risco e distribuição

Kit de ferramentas de gestão de risco
- Mitigação de risco: MPT
- Mensuração de risco: VaR, CVaR
Risco: dispersão, volatilidade
- Variância (desvio padrão) como definição de risco
Conexão entre risco e distribuição dos fatores de risco como variáveis aleatórias

Estacionariedade

Suposição: a distribuição é a mesma ao longo do tempo
Distribuição inalterada = estacionária
Fronteira eficiente no período da crise financeira global
- Não estacionária
Técnicas de estimação exigem estacionariedade
- Histórica: distribuição estacionária desconhecida a partir de dados passados
- Paramétrica: classe de distribuição estacionária assumida
- Monte Carlo: distribuição estacionária assumida para sorteios aleatórios

Quebras estruturais

Não estacionária => talvez a distribuição mude ao longo do tempo
Assuma pontos específicos no tempo para a mudança
- Divida os dados em subperíodos
- Dentro de cada subperíodo, assuma estacionariedade
Quebra(s) estrutural(is): ponto(s) de mudança
- Mudança na "tendência" da média e/ou volatilidade dos dados

Exemplo: crescimento populacional da China

Examine o período 1950 - 2019
A tendência é aproximadamente linear...

Gráfico da população da China ao longo do tempo, 1950-2019

Exemplo: crescimento populacional da China

Examine o período 1950 - 2019
A tendência é aproximadamente linear...
...mas parece desacelerar a partir de 1990
Possível quebra estrutural perto de 1990.
Implica que a distribuição do saldo populacional (nascimentos - mortes) mudou
Possíveis motivos: política governamental, padrão de vida, etc.

Gráfico da população da China ao longo do tempo com setas de tendência, 1950-2019

O teste de Chow

Exemplo anterior: evidência visual de quebra estrutural
Quantificação: medida estatística
Teste de Chow:
- Testa a existência de quebra estrutural dado um modelo linear
- Hipótese nula: sem quebra
- Requer três regressões MQO
  - Regressão para o período inteiro
  - Duas regressões, antes e depois da quebra
- Coletar a soma dos resíduos ao quadrado
- A estatística de teste segue a distribuição "F"

O teste de Chow em Python

Hipótese: quebra estrutural em 1990 para a população da China
Assuma um "modelo de fatores" linear: $$\log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t$$
Regressão MQO usando o objeto OLS do statsmodels no período completo 1950 - 2019
- Obter a soma dos resíduos ao quadrado res.ssr

import statsmodels.api as sm
res = sm.OLS(log_pop, year).fit()

print('SSR 1950-2019: ', res.ssr)

SSR 1950-2019: 0.29240576138055463

O teste de Chow em Python

Divida 1950 - 2019 nos subperíodos 1950 - 1989 e 1990 - 2019
Faça regressões MQO em cada subperíodo
- Obter res_before.ssr e res_after.ssr

pop_before = log_pop.loc['1950':'1989']; year_before = year.loc['1950':'1989'];
pop_after  = log_pop.loc['1990':'2019']; year_after =  year.loc['1990':'2019'];

res_before = sm.OLS(pop_before, year_before).fit()
res_after  = sm.OLS(pop_after, year_after).fit()

print('SSR 1950-1989: ', res_before.ssr)
print('SSR 1990-2019: ', res_after.ssr)

SSR 1950-1989: 0.011741113017411783
SSR 1990-2019: 0.0013717593339608077

O teste de Chow em Python

Calcule a estatística do teste de Chow com distribuição F
- Calcule o numerador
  - k = 2 graus de liberdade = 2 coeficientes MQO $\alpha$, $\beta$
- Calcule o denominador
  - 66 graus de liberdade = número total de pontos (70) - 2*k

numerator = (ssr_total - (ssr_before + ssr_after)) / 2

denominator = (ssr_before + ssr_after) / 66

chow_test = numerator / denominator
print("Chow test statistic: ", chow_test, "; Critical value, 99.9%: ", 7.7)

Chow test statistic: 702.8715822890057; Critical value, 99.9%: 7.7

Vamos praticar!

Gerenciamento Quantitativo de Risco em Python