Die Binomialverteilung

Einführung in die Statistik in R

Maggie Matsui

Content Developer, DataCamp

Der Münzwurf

Hand, die eine Münze wirft, wobei eine Seite H (Kopf) mit 50 % Wahrscheinlichkeit, die andere Seite T (Zahl) mit 50% Wahrscheinlichkeit ist

Binäre Ergebnisse

H und T, 1 und 0, Erfolg und Misserfolg, Gewinn und Verlust

Ein einziger Münzwurf

rbinom(# of trials, # of coins, # probability of heads/success)

1 = Kopf, 0 = Zahl

rbinom(1, 1, 0.5)

rbinom(1, 1, 0.5)

Ein Münzwurf viele Male

rbinom(8, 1, 0.5)

1 0 0 1 0 0 1 0

rbinom(8, 1, 0,5) mit 8 in Rot, 1 in Blau und 0,5 in Gelb. Text: 8 (rot) Würfe 1 (blau) Münze mit 50 % (gelb) Erfolgschance

Viele Münzwürfe ein Mal

rbinom(1, 8, 0.5)

rbinom(1, 8, 0,5) mit 1 in Rot, 8 in Blau und 0,5 in Gelb. Text: 1 (rot) Wurf von 8 (blau) Münzen mit 50 % (gelb) Erfolgschance

Viele Münzwürfe viele Male

rbinom(10, 3, 0.5)

2 0 1 0 1 1 3 3 3 1

rbinom(10, 3, 0,5) mit 10 in Rot, 3 in Blau und 0,5 in Gelb. Text: 10 (rot) Würfe von 3 (blau) Münzen mit einer 50 % (gelb) Erfolgschance

Andere Wahrscheinlichkeiten

rbinom(10, 3, 0.25)

1 1 0 0 1 1 1 1 2 1

Bild von Münze mit Kopf mit 25%iger Wahrscheinlichkeit und mit Zahl mit 75%iger Wahrscheinlichkeit

Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl von Erfolgen in einer Folge von unabhängigen Ereignissen

z. B. Anzahl der Kopfseiten in einer Folge von Münzwürfen

Beschrieben durch $n$ und $p$

$n$: Gesamtzahl der Versuche
$p$: Erfolgswahrscheinlichkeit

rbinom(3, 10, 0,5) mit 3 in Rot, 10 in Blau und 0,5 in Gelb. Text: 3 (rot) Würfe von 10 (blau) Münzen mit einer Erfolgschance von 50 % (gelb). n steht über der 10 in Blau und p steht über der 0,5 in Gelb.

Diagramm der Binomialverteilung mit n=10, p = 0,5

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für 7 Kopfseiten?

$P(\text{heads} = 7)$

# dbinom(num heads, num trials, prob of heads)
dbinom(7, 10, 0.5)

0.1171875

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für 7 oder weniger Mal Kopfseite?

$P(\text{heads} \le 7)$

pbinom(7, 10, 0.5)

0.9453125

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit von mehr als 7 Mal Kopfseite?

$P(\text{heads} > 7)$

pbinom(7, 10, 0.5, lower.tail = FALSE)

0.0546875

1 - pbinom(7, 10, 0.5)

0.0546875

Erwartungswert

$\text{Expected value} = n \times p$

Erwartete Anzahl für die Kopfseite aus 10 Würfen $= 10 \times 0,5 = 5$

Unabhängigkeit

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei unabhängigen Versuchen

Box mit Tickets mit 3 Nullen und 3 Einsen. 50 % Wahrscheinlichkeit für 0, 50 % Wahrscheinlichkeit für 1

Unabhängigkeit

Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei unabhängigen Versuchen

Die Wahrscheinlichkeiten des zweiten Versuchs verändern sich aufgrund des Ergebnisses des ersten Versuchs

Wenn die Versuche nicht unabhängig sind, gilt die Binomialverteilung nicht!

Box mit Tickets mit 3 Nullen und 2 Einsen. 60 % Wahrscheinlichkeit für 0, 40 % Wahrscheinlichkeit für 1

Lass uns üben!

Einführung in die Statistik in R