Diskrete Verteilungen

Einführung in die Statistik in R

Maggie Matsui

Content Developer, DataCamp

Würfeln

Sechsseitiger Würfel

Einführung in die Statistik in R

Würfeln

Jede Seite eines Würfels hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6

Einführung in die Statistik in R

Auswahl von Vertrieblern

 

Namen in einer Box, jeder mit 25 % Wahrscheinlichkeit

Einführung in die Statistik in R

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Beschreibt die Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis in einem Szenario

Jede Seite eines Würfels hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6

 

Erwartungswert: Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Erwartungswert eines Wurfs eines gleichseitigen Würfels = $(1 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{6}) +(3 \times \frac{1}{6}) +(4 \times \frac{1}{6}) +(5 \times \frac{1}{6}) +(6 \times \frac{1}{6}) = 3,5$

Einführung in die Statistik in R

Visualisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Balkendiagramm mit einem Balken für jede Zahl von 1 bis 6, mit einer Höhe von 1/6.

Einführung in die Statistik in R

Wahrscheinlichkeit = Fläche

$$P(\text{die roll}) \le 2 = ~?$$

Balken für 1 und 2 hervorgehoben

Einführung in die Statistik in R

Wahrscheinlichkeit = Fläche

$$P(\text{die roll}) \le 2 = 1/3$$

1/6 + 1/6 = 1/3

Einführung in die Statistik in R

Ungerader Würfel

sechsseitiger Würfel mit zwei Seiten mit 3 Punkten

Erwartungswert eines ungeraden Würfelwurfs = $(1 \times \frac{1}{6}) +(2 \times 0) +(3 \times \frac{1}{3}) +(4 \times \frac{1}{6}) +(5 \times \frac{1}{6}) +(6 \times \frac{1}{6}) = 3,67 $

Einführung in die Statistik in R

Visualisieren ungerader Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeitsverteilung von ungeraden Würfeln. Balken für 1, 4, 5, 6 sind 1/6 hoch, Balken für 2 ist 0 hoch, Balken für 3 ist 1/3 hoch

Einführung in die Statistik in R

Addieren von Flächen

$$P(\text{uneven die roll}) \le 2 = ~?$$

1/6 + 0

Einführung in die Statistik in R

Addieren von Flächen

$$P(\text{uneven die roll}) \le 2 = 1/6$$

1/6 + 0

Einführung in die Statistik in R

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Beschreibe Wahrscheinlichkeiten für diskrete Ergebnisse

Gleichseitiger Würfel

die_plot.png

                           Diskrete Gleichverteilung

 

Ungerader Würfel

uneven_die.png

Einführung in die Statistik in R

Stichproben aus diskreten Verteilungen

die

   n
1  1
2  2
3  3
4  4
5  5
6  6

mean(die$n)

3.5

rolls_10 <- die %>%
  sample_n(10, replace = TRUE)
rolls_10

   n
1  1
2  1
3  5
4  2
5  1
6  1
7  6
8  6
...
Einführung in die Statistik in R

Visualisieren einer Stichprobe

ggplot(rolls_10, aes(n)) +
  geom_histogram(bins = 6)

Histogramm zu 10 Würfen

Einführung in die Statistik in R

Stichprobenverteilung vs. theoretische Verteilung

 

Stichprobe mit 10 Würfen

Histogramm zu 10 Würfen

mean(rolls_10$n) = 3.0

 

Theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung eines gleichseitigen Würfels

mean(die$n) = 3.5

Einführung in die Statistik in R

Eine größere Stichprobe

 

Stichprobe mit 100 Würfen

Histogramm zu 100 Würfen

mean(rolls_100$n) = 3.36

 

Theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung eines gleichseitigen Würfels

mean(die$n) = 3.5

Einführung in die Statistik in R

Eine noch größere Stichprobe

 

Stichprobe mit 1000 Würfen

Histogramm zu 1000 Würfen

mean(rolls_1000$n) = 3.53

 

Theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung eines gleichseitigen Würfels

mean(die$n) = 3.5

Einführung in die Statistik in R

Gesetz der großen Zahlen

Mit zunehmender Stichprobengröße nähert sich der Stichprobenmittelwert dem Erwartungswert an.

Stichprobengröße Mittelwert
10 3,00
100 3,36
1000 3,53
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