Test d’indépendance du khi carré

Tests d'hypothèses en Python

James Chapman

Curriculum Manager, DataCamp

Retour sur le test de proportion

age_by_hobbyist = stack_overflow.groupby("age_cat")['hobbyist'].value_counts()

age_cat      hobbyist
At least 30  Yes          812
             No           238
Under 30     Yes         1021
             No           190
Name: hobbyist, dtype: int64

from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest
n_hobbyists = np.array([812, 1021])
n_rows = np.array([812 + 238, 1021 + 190])
stat, p_value = proportions_ztest(count=n_hobbyists, nobs=n_rows, 
                                  alternative="two-sided")

(-4.223691463320559, 2.403330142685068e-05)

Indépendance des variables

Résultat du test précédent : preuve que hobbyist et age_cat sont associés

Indépendance statistique : la proportion de succès dans la variable réponse est la même pour toutes les catégories de la variable explicative

Test d’indépendance des variables

import pingouin
expected, observed, stats = pingouin.chi2_independence(data=stack_overflow, x='hobbyist',
                                                       y='age_cat', correction=False)
print(stats)

                 test    lambda       chi2  dof      pval    cramer     power
0             pearson  1.000000  17.839570  1.0  0.000024  0.088826  0.988205
1        cressie-read  0.666667  17.818114  1.0  0.000024  0.088773  0.988126
2      log-likelihood  0.000000  17.802653  1.0  0.000025  0.088734  0.988069
3       freeman-tukey -0.500000  17.815060  1.0  0.000024  0.088765  0.988115
4  mod-log-likelihood -1.000000  17.848099  1.0  0.000024  0.088848  0.988236
5              neyman -2.000000  17.976656  1.0  0.000022  0.089167  0.988694

Statistique $\chi^2$ = 17.839570 = $(-4.223691463320559)^2$ = ($z$-score)$^2$

Satisfaction au travail et catégorie d’âge

stack_overflow['age_cat'].value_counts()

Under 30       1211
At least 30    1050
Name: age_cat, dtype: int64

stack_overflow['job_sat'].value_counts()

Very satisfied           879
Slightly satisfied       680
Slightly dissatisfied    342
Neither                  201
Very dissatisfied        159
Name: job_sat, dtype: int64

Formulation des hypothèses

$H_{0}$ : Les catégories d’âge sont indépendantes des niveaux de satisfaction au travail

$H_{A}$ : Les catégories d’âge ne sont pas indépendantes des niveaux de satisfaction au travail

alpha = 0.1

Statistique de test notée $\chi^{2}$
En supposant l’indépendance, à quelle distance les observations sont-elles des valeurs attendues ?

Visualisation exploratoire : histogramme empilé proportionnel

props = stack_overflow.groupby('job_sat')['age_cat'].value_counts(normalize=True)

wide_props = props.unstack()

wide_props.plot(kind="bar", stacked=True)

Visualisation exploratoire : histogramme empilé proportionnel

Histogramme empilé proportionnel de la satisfaction au travail rempli par catégorie d’âge

Test d’indépendance du khi carré

import pingouin
expected, observed, stats = pingouin.chi2_independence(data=stack_overflow, x="job_sat", y="age_cat")
print(stats)

                 test    lambda      chi2  dof      pval    cramer     power
0             pearson  1.000000  5.552373  4.0  0.235164  0.049555  0.437417
1        cressie-read  0.666667  5.554106  4.0  0.235014  0.049563  0.437545
2      log-likelihood  0.000000  5.558529  4.0  0.234632  0.049583  0.437871
3       freeman-tukey -0.500000  5.562688  4.0  0.234274  0.049601  0.438178
4  mod-log-likelihood -1.000000  5.567570  4.0  0.233854  0.049623  0.438538
5              neyman -2.000000  5.579519  4.0  0.232828  0.049676  0.439419

Degrés de liberté :

$(\text{Nb. de catégories de réponse} - 1) \times (\text{Nb. de catégories explicatives} - 1)$

$(2 - 1) * (5 - 1) = 4$

Inverser les variables ?

props = stack_overflow.groupby('age_cat')['job_sat'].value_counts(normalize=True)
wide_props = props.unstack()
wide_props.plot(kind="bar", stacked=True)

Inverser les variables ?

Histogramme empilé proportionnel de la catégorie d’âge rempli par satisfaction au travail

khi carré dans les deux sens

expected, observed, stats = pingouin.chi2_independence(data=stack_overflow, x="age_cat", y="job_sat")
print(stats[stats['test'] == 'pearson'])

      test  lambda      chi2  dof      pval    cramer     power
0  pearson     1.0  5.552373  4.0  0.235164  0.049555  0.437417

Question : Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?

Pas : La variable X est-elle indépendante de la variable Y ?

Et la direction, les queues ?

Les carrés des effectifs observés et attendus doivent être non négatifs
Les tests du khi carré sont presque toujours unilatéraux à droite $^{1}$

¹ Les tests du khi carré unilatéraux à gauche sont utilisés en forensique statistique pour détecter un ajustement anormalement bon (données fabriquées). Les tests du khi carré de variance peuvent être bilatéraux. Ces usages restent marginaux.

Passons à la pratique !

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