Estimation de modèle et vraisemblance

Introduction à la modélisation linéaire en Python

Jason Vestuto

Data Scientist

Estimation

Tracé d'un histogramme : effectifs normalisés selon des intervalles de distance, les données en barres grises et le modèle en courbe gaussienne rouge épousant le sommet des barres grises

Introduction à la modélisation linéaire en Python

Estimation

# Define gaussian model function
def gaussian_model(x, mu, sigma):
    coeff_part = 1/(np.sqrt(2 * np.pi * sigma**2))
    exp_part = np.exp( - (x - mu)**2 / (2 * sigma**2) )
    return coeff_part*exp_part

# Compute sample statistics
mean = np.mean(sample)
stdev = np.std(sample)

# Model the population using sample statistics
population_model = gaussian(sample, mu=mean, sigma=stdev)
Introduction à la modélisation linéaire en Python

Vraisemblance vs probabilité

  • Probabilité conditionnelle : $P( \text{issue A} | \text{étant donné B})$
  • Probabilité : $P( \text{données} | \text{modèle} )$
  • Vraisemblance : $L( \text{modèle} | \text{données} )$
Introduction à la modélisation linéaire en Python

Calcul de la vraisemblance

Tracé de la probabilité selon la distance : courbe gaussienne rouge, avec un point près du bord gauche, relié aux axes par des segments horizontal et vertical

Introduction à la modélisation linéaire en Python

Calcul de la vraisemblance

Tracé de la probabilité selon la distance : courbe gaussienne rouge, avec 6 points du bord gauche vers le centre, chacun relié aux deux axes par des segments horizontaux et verticaux

Introduction à la modélisation linéaire en Python

Vraisemblance à partir des probabilités

# Guess parameters
mu_guess = np.mean(sample_distances)
sigma_guess = np.std(sample_distances)

# For each sample point, compute a probability
probabilities = np.zeros(len(sample_distances))
for n, distance in enumerate(sample_distances):
    probabilities[n] = gaussian_model(distance, mu=mu_guess, sigma=sigma_guess)

likelihood = np.product(probs)
loglikelihood = np.sum(np.log(probs))
Introduction à la modélisation linéaire en Python

Estimation par maximum de vraisemblance

# Create an array of mu guesses
low_guess = sample_mean - 2*sample_stdev
high_guess = sample_mean + 2*sample_stdev
mu_guesses = np.linspace(low_guess, high_guess, 101)

# Compute the loglikelihood for each guess
loglikelihoods = np.zeros(len(mu_guesses))
for n, mu_guess in enumerate(mu_guesses):
    loglikelihoods[n] = compute_loglikelihood(sample_distances, mu=mu_guess, sigma=sample_stdev)

# Find the best guess
max_loglikelihood = np.max(loglikelihoods)
best_mu = mu_guesses[loglikelihoods == max_loglikelihood]
Introduction à la modélisation linéaire en Python

Estimation par maximum de vraisemblance

Tracé d'une parabole ouverte vers le bas, avec un point rouge au maximum, axes : log-vraisemblance versus valeurs de mu

Introduction à la modélisation linéaire en Python

Passons à la pratique !

Introduction à la modélisation linéaire en Python

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