Mesurer le risque

Gestion quantitative des risques en Python

Jamsheed Shorish

CEO, Shorish Research

La distribution des pertes

  • Exemple Forex :
    • Valeur du portefeuille en dollars US : USD 100
    • Facteur de risque = taux de change EUR / USD
    • Valeur en EUROS si 1 EUR = 1 USD : USD 100 × EUR 1 / USD 1 = EUR 100.
    • Valeur en EUROS si r EUR = 1 USD : = USD 100 × EUR r / 1 USD = EUR 100 × r
    • Perte = EUR 100 − EUR 100 × r = EUR 100 × (1 − r)
  • Distribution des pertes : réalisations aléatoires de r ⇒ distribution des pertes futures du portefeuille

Histogram of forex losses

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Perte maximale

  • Quelle est la perte maximale d'un portefeuille ?
  • Les pertes ne peuvent pas être bornées avec 100 % de certitude
  • Niveau de confiance : remplacer la certitude absolue par la probabilité d'une borne supérieure
  • Peut s'exprimer ainsi : « Quelle est la perte maximale qui surviendrait 95 % du temps ? »
    • Ici, le niveau de confiance est de 95 %.
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Value at Risk (VaR)

  • VaR : statistique mesurant la perte maximale du portefeuille à un niveau de confiance donné
  • Niveaux de confiance usuels : 95 %, 99 % et 99,5 % (souvent notés en décimal)
  • Exemple Forex : si, 95 % du temps, le taux EUR/USD est au moins 0,40, alors :
    • la valeur du portefeuille est au moins USD 100 × 0,40 EUR / USD = EUR 40,
    • la perte du portefeuille est au plus EUR 40 − EUR 100 = EUR 60,
    • donc la VaR à 95 % est de EUR 60.

Time series of EUR/USD exchange rate with 0.40 cutoff

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Conditional Value at Risk (CVaR)

  • CVaR : mesure la perte attendue étant donné une perte minimale égale à la VaR
  • Égale à la valeur attendue de la queue de la distribution des pertes :
    • $$\textnormal{CVaR}(\alpha) := \frac{1}{1-\alpha}\mathbb{E} \int_{\textnormal{VaR}(\alpha)}^{\bar{x}} x f(x) dx,$$
    • $f(\cdot)$ = densité de probabilité de la distribution des pertes
    • $\bar{x}$ = borne supérieure de la perte (peut être l'infini)
    • $\textnormal{VaR}(\alpha)$ = VaR au niveau de confiance $\alpha$.
  • Exemple Forex :
    • CVaR 95 % = perte attendue pour 5 % des cas où la valeur du portefeuille est inférieure à EUR 40

Plot of the loss distribution, showing the VaR and CVaR tail dependence

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Calculer la VaR

  1. Indiquer le niveau de confiance, p. ex. 95 % (0,95)
  2. Créer une Series d'observations loss
  3. Calculer loss.quantile() au niveau de confiance choisi

  4. VaR = .quantile() calculé au niveau visé

  5. Distribution des pertes via scipy.stats : la fonction quantile .ppf() peut aussi être utilisée

loss = pd.Series(observations)

VaR_95 = loss.quantile(0.95)
print("VaR_95 = ", VaR_95)

Var_95 = 1.6192834157254088
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Calculer la CVaR

  1. Indiquer le niveau de confiance, p. ex. 95 % (0,95)
  2. Créer ou utiliser un échantillon de la distribution des pertes
  3. Calculer la VaR au niveau spécifié, p. ex. 0,95
  4. Calculer la CVaR comme perte attendue (loi Normale : scipy.stats.norm.expect() le fait).
losses = pd.Series(scipy.stats.norm.rvs(size=1000))

VaR_95 = scipy.stats.norm.ppf(0.95)

CVaR_95 = (1/(1 - 0.95))*scipy.stats.norm.expect(lambda x: x, lb = VaR_95)

print("CVaR_95 = ", CVaR_95)

CVaR_95 = 2.153595332530393
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Visualiser la VaR

  • Histogramme de la distribution des pertes pour 1 000 tirages de N(1,3)

Histogram of normally-distributed losses

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Visualiser la VaR

  • Histogramme de la distribution des pertes pour 1 000 tirages de N(1,3)
    • VaR$_{95}$ = 5,72, soit la VaR à 95 % de confiance

Histogram of losses with the 95% VaR

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Visualiser la VaR

  • Histogramme de la distribution des pertes pour 1 000 tirages de N(1,3)
    • VaR$_{95}$ = 5,72, soit la VaR à 95 % de confiance
    • VaR$_{99}$ = 7,81, soit la VaR à 99 % de confiance

Histogram of losses with the 95% and 99% VaR

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Visualiser la VaR

  • Histogramme de la distribution des pertes pour 1 000 tirages de N(1,3)
    • VaR$_{95}$ = 5,72, soit la VaR à 95 % de confiance
    • VaR$_{99}$ = 7,81, soit la VaR à 99 % de confiance
    • VaR$_{99.5}$ = 8,78, soit la VaR à 99,5 % de confiance
  • La VaR augmente quand le niveau de confiance s'élève

Histogram of losses with the 95%, 99% and 99.5% VaR

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Passons à la pratique !

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