Couverture de portefeuille : compenser le risque

Gestion quantitative des risques en Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Stabilité du portefeuille

  • VaR/CVaR : perte potentielle du portefeuille pour un niveau de confiance donné
  • Optimisation de portefeuille : pondérations « optimales »
    • Mais la volatilité demeure !
  • Investisseurs institutionnels : stabilité du portefeuille face aux variations
    • Fonds de pension : env. 20 000 milliards USD
Gestion quantitative des risques en Python

Jours de pluie, jours de soleil

  • Portefeuille d'investissement : entreprise de lunettes de soleil
    • Facteur de risque : météo

Image de lunettes de soleil sur un matelas flottant jaune

Gestion quantitative des risques en Python

Jours de pluie, jours de soleil

  • Portefeuille d'investissement : entreprise de lunettes de soleil
    • Facteur de risque : météo (pluie)
    • Plus de pluie ⇒ valeur de l'entreprise en baisse
    • Valeur en baisse ⇒ cours de l'action en baisse
    • Cours en baisse ⇒ valeur du portefeuille en baisse

Image de lunettes de soleil sur un matelas flottant jaune   Image de gouttes de pluie sur une vitre

Gestion quantitative des risques en Python

Jours de pluie, jours de soleil

  • Portefeuille d'investissement : entreprise de lunettes de soleil
    • Facteur de risque : météo (pluie)
    • Plus de pluie ⇒ valeur de l'entreprise en baisse
    • Valeur en baisse ⇒ cours de l'action en baisse
    • Cours en baisse ⇒ valeur du portefeuille en baisse
  • Deuxième opportunité : entreprise de parapluies
    • Plus de pluie ⇒ plus de valeur !

Image de parapluies pliés multicolores dans un présentoir

Gestion quantitative des risques en Python

Jours de pluie, jours de soleil

  • Portefeuille d'investissement : entreprise de lunettes de soleil
    • Facteur de risque : météo (pluie)
    • Plus de pluie ⇒ valeur de l'entreprise en baisse
    • Valeur en baisse ⇒ cours de l'action en baisse
    • Cours en baisse ⇒ valeur du portefeuille en baisse
  • Deuxième opportunité : entreprise de parapluies
    • Plus de pluie ⇒ plus de valeur !
  • Portefeuille : lunettes & parapluies, plus stable
    • La volatilité de la pluie est compensée

Image de lunettes de soleil sur un matelas flottant jaune   Image de parapluies pliés multicolores dans un présentoir

Gestion quantitative des risques en Python

Couverture

  • Couverture (hedging) : compenser la volatilité avec un autre actif
  • Essentiel pour la gestion des risques des investisseurs institutionnels
  • Flux de rendement additionnel évoluant à l'inverse du portefeuille
  • Utilisé dans les fonds de pension, le ForEx, les futures, les dérivés…
    • 2019 : marché des hedge funds env. 3,6 billions USD
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Instruments de couverture : options

  • Dérivé : instrument de couverture
  • Option européenne : dérivé très répandu
    • Option d'achat (call) européenne : droit (non obligation) d'acheter l'action au prix fixé $X$ à la date $M$
    • Option de vente (put) européenne : droit (non obligation) de vendre l'action au prix fixé $X$ à la date $M$
    • L'action est le « sous-jacent » de l'option
      • Prix de marché courant $S$ = spot
    • $X$ = prix d'exercice
    • $M$ = date d'échéance
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Valorisation Black‑Scholes des options

  • La valeur d'une option varie avec le prix du sous-jacent ⇒ permet de couvrir le risque
  • Il faut évaluer l'option : nécessite des hypothèses sur le marché, le sous-jacent, le taux sans risque, etc.
  • Formule de valorisation de Black‑Scholes : Fisher Black et le Nobel Myron Scholes (1973)
    • Requiert pour chaque instant $t$ :
      • spot $S$
      • prix d'exercice $X$
      • temps jusqu'à l'échéance $T := M - t$
      • taux sans risque $r$
      • volatilité des rendements du sous-jacent $\sigma$ (écart‑type)
1 Black, F. et M. Scholes (1973). « The Pricing of Options and Corporate Liabilities », Journal of Political Economy vol 81 no. 3, p. 637–654.{{3}}
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Hypothèses de la formule Black‑Scholes

  • Structure de marché
    • Marchés efficients
    • Absence de coûts de transaction
    • Taux sans risque
  • Action sous-jacente
    • Pas de dividendes
    • Rendements normalement distribués
  • Calculatrice en ligne : https://www.math.drexel.edu/~pg/fin/VanillaCalculator.html
  • Fonction Python black_scholes() : lien vers le code source disponible dans les exercices
Gestion quantitative des risques en Python

Calculer la valeur Black‑Scholes d'une option

  • Formule Black‑Scholes de valorisation d'option black_scholes()
  • Paramètres requis : $S$, $X$, $T$ (fraction d'année), $r$, $\sigma$
  • Utilisez option_type souhaité (« call » ou « put »)

 

S = 70; X = 80; T = 0.5; r = 0.02; sigma = 0.2

option_value = black_scholes(S, X, T, r, sigma, option_type = "put")

print(option_value)

10.31222171237868
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Couvrir une position en action avec une option

  • Couvrir une action avec un put européen : même sous-jacent que l'action du portefeuille
  • Le spot $S$ baisse ($\Delta S < 0$) ⇒ la valeur de l'option $V$ monte ($\Delta V > 0$)
  • Delta d'une option : $\Delta := \frac{\partial V}{\partial S}$
  • Couvrir une action avec $\frac{1}{\Delta}$ options
  • Delta neutre : $\Delta S + \frac{\Delta V}{\Delta} = 0$ ; l'action est couverte !
  • Fonction Python bs_delta() : calcule le delta de l'option
    • Lien vers le code source disponible dans les exercices
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Passons à la pratique !

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