Valeurs propres et vecteurs propres

Algèbre linéaire pour la data science en R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Motivation - Reconnaissance faciale

Multiplication matrice-vecteur

Rotations
Réflexions
Dilatations
Contractions
Projections
Toutes les combinaisons imaginables de celles-ci

Multiplication par un scalaire

La multiplication scalaire de $c$ par le vecteur $\vec{x}$ se note :

$$c \vec{x}$$

elle multiplie simplement chaque composante de $\vec{x}$ par $c$.

Multiplication par un scalaire

print(x)

3 2 3

c <- 4

c*x

12  8 12

Obtenir une multiplication scalaire via une matrice

La multiplication scalaire peut être reproduite par une multiplication matricielle particulière :

$$c I \vec{x} = c\vec{x}$$

Cependant, de nombreuses autres matrices, appliquées au bon vecteur ou à une famille de vecteurs, agissent exactement comme une multiplication par un scalaire.

Ces scalaires et vecteurs sont appelés valeurs propres et vecteurs propres !

Obtenir une multiplication scalaire via une matrice

print(A)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    3    0    0
[2,]    0    3    0
[3,]    0    0    3

x <- c(3, 2, 3)

A%*%x

     [,1]
[1,]    9
[2,]    6
[3,]    9

3*x

9 6 9

Passons à la pratique !

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