Règle de Bayes

Fondamentaux des probabilités en Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Probabilité de deux lancers de pièce

P(A et B) pour des événements indépendants

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

P(A et B) pour des événements dépendants

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

P(A et B) pour des événements dépendants (suite)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A et B) est égal à P(B et A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A et B) est égal à P(B et A) (suite)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

Relation de Bayes

$$ $$

Règle de Bayes

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

Probabilité totale

Pièces défectueuses de tous les fournisseurs dans un diagramme de Venn

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

Probabilité totale (suite)

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Probabilité totale (suite)

Pièces défectueuses de tous les fournisseurs dans un diagramme de Venn

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Formule de Bayes

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Formule de Bayes (suite)

Formule de Bayes :

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Probabilité qu'une pièce provienne du fournisseur i sachant qu'elle est défectueuse :

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

Formule de Bayes (suite)

Formule de Bayes : $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
Probabilité qu'une pièce provienne du fournisseur i sachant qu'elle est défectueuse :

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Représentation visuelle de la règle de Bayes

Pièces défectueuses de tous les fournisseurs dans un diagramme de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Représentation visuelle de la règle de Bayes (suite)

Pièces défectueuses du fournisseur 1 dans un diagramme de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Représentation visuelle de la règle de Bayes (suite)

Pièces défectueuses du fournisseur 1 dans un diagramme de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Représentation visuelle de la règle de Bayes (suite)

Pièces défectueuses des fournisseurs 1 et 2 dans un diagramme de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Représentation visuelle de la règle de Bayes (suite)

Pièces défectueuses des fournisseurs 1, 2 et 3 dans un diagramme de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Représentation visuelle de la règle de Bayes (suite)

Pièces défectueuses des fournisseurs 1, 2 et 3 dans un diagramme de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Représentation visuelle de la règle de Bayes (suite)

Pièces défectueuses des fournisseurs 1, 2 et 3 dans un diagramme de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Représentation visuelle de la règle de Bayes (suite)

Pièces défectueuses du fournisseur 1 sur les pièces défectueuses des fournisseurs 1, 2 et 3 dans un diagramme de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

Représentation visuelle de la règle de Bayes (suite)

Pièces défectueuses du fournisseur 1 sur les pièces défectueuses des fournisseurs 1, 2 et 3 dans un diagramme de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Exemple usines et pièces en Python

Une certaine pièce électronique est fabriquée par trois fournisseurs : V1, V2 et V3.

La moitié des pièces proviennent de V1, et V2 et V3 en produisent chacun 25 %. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle vient de V1 est de 1 %, contre 2 % pour V2 et 3 % pour V3.

Sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée par V1 ?

Exemple usines et pièces en Python (suite)

Sachant que la pièce est défectueuse, calculez la probabilité qu'elle ait été fabriquée par V1.

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

Exemple usines et pièces en Python (suite)

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # P(V1|D) calculation
print(P_V1_g_D)

Une pièce défectueuse choisie au hasard est fabriquée par V1 avec la probabilité :

0.285714285714

Passons à la pratique !

Fondamentaux des probabilités en Python