Fondamentaux des probabilités en Python
Alexander A. Ramírez M.
CEO @ Synergy Vision
Espérance : somme des issues possibles pondérées par leur probabilité.
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$
L'espérance d'une variable aléatoire discrète est la somme des issues possibles pondérées par leur probabilité.
Dans notre cas, pour le lancer de pièce :
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = \color{red}{0\times (1-p)} + 1\times p = p $$
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = 0\times (1-p) + \color{red}{1\times p} = p $$
Chaque $x_i$ est l'issue d'une expérience (par ex. un lancer de pièce, 0 ou 1).
$$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n) $$
En Python, nous utiliserons la fonction scipy.stats.describe() pour obtenir la moyenne arithmétique.
scipy.stats.describe()
from scipy.stats import describe describe([0,1]).mean
0.5
La variance mesure la dispersion.
C'est l'espérance de l'écart au carré par rapport à son espérance.
$$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n}p_i \times (x_i-E(X))^2 $$
En Python, nous utiliserons la fonction scipy.stats.describe() pour obtenir la variance d'échantillon.
describe([0,1]).variance
Pour $X\sim Binomial(n, p)$
$$ E(X) = n \times p $$
$$ Var(X) = n \times p \times (1-p) $$
Exemple : $n=10$ et $p=0.5$
En Python, nous utiliserons la méthode binom.stats() pour obtenir l'espérance et la variance.
binom.stats()
binom.stats(n=10, p=0.5)
(array(5.), array(2.5))
Quelles sont l'espérance et la variance pour un lancer d'une pièce équilibrée ?
binom.stats(n=1, p=0.5)
(array(0.5), array(0.25))
Quelles sont l'espérance et la variance pour un lancer biaisé, avec 30 % de probabilité de succès ?
binom.stats(n=1, p=0.3)
(array(0.3), array(0.21))
Quelles sont l'espérance et la variance pour 10 lancers d'une pièce équilibrée ?
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