Ajuster le modèle de risques proportionnels de Cox

Analyse de survie en Python

Shae Wang

Senior Data Scientist

Fonction de risque et taux de risque

Fonction de risque $h(t)$ : décrit la probabilité que l'événement survienne à un instant donné, sachant la survie jusqu'à cet instant.

Taux de risque : taux instantané de survenue de l'événement

$$h(t)=-\frac{d}{dt}logS(t)$$

La fonction de risque $h(t)$ et la fonction de survie $S(t)$ se déduisent l'une de l'autre.

L'hypothèse des risques proportionnels

Hypothèse des risques proportionnels : les risques de tous les individus sont proportionnels entre eux.

Pour l'individu $A$ et l'individu $B$ : $$h_A(t)=ch_B(t)$$

Il existe une fonction de risque de base et les autres risques sont obtenus par facteurs d'échelle.
L'effet relatif sur la survie associé à une variable ne varie pas dans le temps (invariant dans le temps).

Comparaison de l'hypothèse de risques proportionnels entre deux courbes de survie

Le modèle de risques proportionnels de Cox

D'après l'hypothèse des risques proportionnels : $$h(t|x)=b_0(t)exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$$

$b_0(t)$ : fonction de risque de base au niveau population, variable dans le temps.

$exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$ : relation linéaire entre les covariables et le log du risque, NE varie PAS dans le temps.

Le modèle de risques proportionnels de Cox (Cox PH) est un modèle de régression qui met en relation des covariables avec le temps jusqu'à l'événement/durée.

Données requises pour le modèle Cox PH

Durées : la durée de vie/durée des individus.
Événements : si l'événement est observé (1=Oui, 0=Non, censuré).
- S'il n'est pas fourni, le modèle suppose qu'aucun sujet n'est censuré.
Covariables : variables continues ou catégorielles encodées en one‑hot pour la régression.

Ajuster le modèle Cox PH

Importer et instancier la classe CoxPHFitter

from lifelines import CoxPHFitter
coxph = CoxPHFitter()

Appeler .fit() pour ajuster l'estimateur aux données
```
coxph.fit(df, duration_col, event_col)
```
Accéder à d'autres propriétés : résumé du modèle, covariables, coefficients, prédiction, tracés, etc.
```
coxph.summary()
coxph.predict()
```

Exemple de modèle Cox PH

DataFrame : mortgage_df
Covariables :
- house
- principal
- interest
- property_tax
- credit_score
Autres colonnes : duration, paid_off

from lifelines import CoxPHFitter

coxph = CoxPHFitter()
coxph.fit(df=mortgage_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off")

Modèle personnalisé

Filtrer le DataFrame :

new_df = mortgage_df.loc[:, 
          mortgage_df.columns!="house"]
coxph.fit(df=new_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off")

Utiliser le paramètre formula :

coxph.fit(df=mortgage_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off",
          formula="principal + interest 
          + property_tax + credit_score")

Plus pratique et clair, mais ne passe pas à l'échelle avec un grand nombre de covariables.

Interpréter les coefficients

print(coxph.summary)

<lifelines.CoxPHFitter: fitted with 1808 observations, 340 censored>
                        coef  exp(coef)  se(coef)      z       p
covariate house        -0.38       0.68      0.19. -1.98    0.05
          principal    -0.06       0.94      0.02  -2.61    0.01
          interest      0.31       1.37      0.31   1.02    0.31
          property_tax -0.15       0.86      0.21  -0.71    0.48
          credit_score -0.43       0.65      0.38  -1.14.   0.26

Rapport de risque (hazard ratio) : $e^{coef}$
- Une augmentation d'une unité de interest par rapport à sa médiane → le risque change d'un facteur $e^{0.31}=1.37$, soit +37 % par rapport au risque de base.

Passons à la pratique !

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