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Modèles GARCH en R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Modèle GARCH-in-mean

Quantifier le compromis risque/rendement.
Risque : $\sigma^2_t$. Rendement : $\mu_t$.
Modèle GARCH-in-mean :

$$ \mu_{t} = \mu + \lambda \sigma^2_{t} $$

$\lambda > 0$ est le paramètre risque/rendement : hausse du rendement attendu par unité de variance du risque.

Comment faire ?

Modifiez l'argument mean.model dans ugarchspec() de list(armaOrder = c(0, 0)) à list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2) :

garchspec <- ugarchspec(
              mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
              variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
              distribution.model = "sstd")

garchspec <- ugarchspec(
               mean.model = list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2),
               variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
               distribution.model = "sstd")

Application aux rendements quotidiens du S&P 500

Estimation

garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

Inspection des coefficients estimés pour la moyenne

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

    mu  archm 
0.0002 1.9950

Moyennes prévues des rendements

$$ \hat{\mu}_{t} = 0.0002 + 1.9950 \hat{\sigma}^2_{t} $$

Série temporelle des rendements prédits

Tracez-les dans R
```
plot(fitted(garchfit))
```

Le rendement d'aujourd'hui prédit celui de demain

Le GARCH-in-mean s'appuie sur la théorie financière du compromis risque/rendement pour construire une moyenne conditionnelle.
Utilisons maintenant la théorie statistique pour modéliser la moyenne via la corrélation entre le rendement d'aujourd'hui et celui de demain.
Le modèle le plus courant est l'AR(1) :
- AR(1) signifie modèle autorégressif d'ordre 1.
- Il prédit le prochain rendement via l'écart au rendement moyen de long terme $\mu$ :

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

Un coefficient autorégressif positif

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho > 0$ :
- Un rendement supérieur (resp. inférieur) à la moyenne est suivi d'un rendement supérieur (resp. inférieur) à la moyenne.
- Explication possible : les marchés sous‑réagissent aux nouvelles, d'où un momentum des rendements.
$|\rho|<1$ : Retour vers la moyenne : les écarts de $R_t$ à $\mu$ sont transitoires.

Un coefficient autorégressif négatif

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho < 0$ :
- Un rendement supérieur (resp. inférieur) à la moyenne est suivi d'un rendement inférieur (resp. supérieur) à la moyenne.
- Explication possible : les marchés sur‑réagissent aux nouvelles, d'où une inversion des rendements.

Application aux rendements quotidiens du S&P 500

Spécification et estimation d'un AR(1)-GJR GARCH avec distribution sst

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

Estimations du modèle AR(1)

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

     mu     ar1     
 0.0003 -0.0292

Modèles MA(1) et ARMA(1,1)

Le modèle à moyenne mobile d'ordre 1 utilise l'écart du rendement à sa moyenne conditionnelle :

$$ \mu_{t} = \mu + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

ARMA(1,1) combine AR(1) et MA(1) :

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

Comment faire ?

MA(1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(0, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

ARMA(1, 1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

À vous de modifier l'argument mean.model

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