N'utilisez que les données disponibles au moment de la prédiction

Modèles GARCH en R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Prédire la volatilité avec `sigma()` sur un objet `ugarchforecast`

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                        variance.model = list(model = "sGARCH"),
                        distribution.model = "norm")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)
garchforecast <- ugarchforecast(fitORspec = garchfit, n.ahead = 3)
sigma(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.005034754
T+2  0.005127582
T+3  0.005217770

Estimer la volatilité avec `sigma()` sur un objet `ugarchfit` (i)

head(sigma(garchfit), 3)

1989-01-04 0.01099465
1989-01-05 0.01129167
1989-01-06 0.01084294

tail(sigma(garchfit), 3)

2017-12-27 0.005051926
2017-12-28 0.004947569
2017-12-29 0.004862908

Estimer la volatilité avec sigma() sur un objet ugarchfit (ii)

Biais d'anticipation : des rendements futurs sont utilisés pour estimer la volatilité.

Éviter le biais d'anticipation : estimation roulante

Programmer une boucle for : itérer sur les instants de prédiction, utiliser ugarchfit() pour estimer le modèle et ugarchforecast() pour prévoir la volatilité
Fonction intégrée ugarchroll() du package rugarch
Options :
- Longueur de l'échantillon d'estimation
- Fréquence de ré-estimation du modèle

Fenêtre croissante (expanding)

Utiliser tous les rendements disponibles au moment de la prédiction

Fenêtre glissante (moving)

N'utiliser qu'un nombre fixe des dernières observations de rendement disponibles au moment de la prédiction

Propriétés de l'estimation en fenêtre glissante

La fenêtre glissante s'adapte aux changements des paramètres du modèle
Le coût de calcul de ugarchroll() vient de la boucle sur les instants de prédiction :
- On peut le réduire en ré-estimant le modèle moins souvent que la fréquence de prédiction

Fenêtre glissante et ré-estimation

Réduire le coût de calcul en estimant le modèle toutes les $K$ observations

Fonction ugarchroll

garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

Arguments à préciser :

Spécification GARCH utilisée
data : rendements à utiliser
n.start : taille de l'échantillon initial d'estimation
refit.window : évolution de l'échantillon dans le temps : "moving" ou "expanding
refit.every : fréquence de ré-estimation du modèle

Exemple : rendements quotidiens EUR/USD janv. 1999–déc. 2018

Pour les 4 961 rendements EUR/USD avec 4 961 observations, en commençant le 1999-01-05 et avec une fenêtre d'estimation glissante de 2 500 observations :

Sortie : paramètres qui évoluent

La méthode coef() produit une liste des coefficients estimés pour chaque estimation

coef(garchroll)[[1]]

$index
"2008-12-08"

$coef
            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
mu     -1.480000e-04 1.330915e-04 -1.11201737 0.2661307
ar1    -2.953484e-03 1.985344e-02 -0.14876432 0.8817396
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000
shape   1.098068e+01 2.609293e+01  0.42082981 0.6738794

Changements entre fenêtres d'estimation

coef(garchroll)[[1]]$coef # 2008-12-08

            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000

coef(garchroll)[[5]]$coef # 2016-11-28

            Estimate   Std. Error      t value     Pr(>|t|)
omega   8.982527e-08 2.639680e-05  0.003402885 9.972849e-01
alpha1  4.149787e-02 2.550381e-01  0.162712424 8.707449e-01
beta1   9.573885e-01 2.195782e-01  4.360125676 1.299878e-05

Quelle moyenne et volatilité prévues en roulant ?

Pour les rendements EUR/USD avec n.start = 2500, la première prédiction concerne l'observation 2501, soit le 2008-12-09 :

Méthode as.data.frame()

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds, 3)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142

Remarque :

preds$Mu : série des moyennes prévues
preds$Sigma : série des volatilités prévues

Volatilités prévues

garchvol <- xts(preds$Sigma, order.by = as.Date(rownames(preds)))
plot(garchvol)

Précision des prédictions roulantes

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142
2008-12-12 -8.845214e-05 0.01199756    0 10.98068          0 -0.0041201588
2008-12-15 -1.362683e-04 0.01184438    0 10.98068          0 -0.0230532787
2008-12-16 -8.034966e-05 0.01228900    0 10.98068          0 -0.0105720492

Évaluer la précision de preds$Mu et preds$Sigma en les comparant à preds$Realized

Erreur quadratique moyenne pour la moyenne

# Erreur de prédiction pour la moyenne
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
mean(e ^ 2)

3.867998e-05

Erreur quadratique moyenne pour la variance

# Erreur de prédiction pour la moyenne
e  <- preds$Realized - preds$Mu  

# Erreur de prédiction pour la variance
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2)

6.974161e-09

Comparer deux modèles

GARCH standard avec loi de Student

tgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
     variance.model = list(model = "sGARCH"), distribution.model = "std")
garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

GJR-GARCH avec loi de Student asymétrique

gjrgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
   variance.model = list(model = "gjrGARCH"), distribution.model = "sstd")
gjrgarchroll <- ugarchroll(gjrgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
            refit.window = "moving", refit.every = 500)

Comparer la précision des prédictions

GARCH standard avec loi de Student

preds <- as.data.frame(garchroll)
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # yields 6.974161e-09

GJR-GARCH avec loi de Student asymétrique

gjrpreds <- as.data.frame(gjrgarchroll)
e  <- gjrpreds$Realized - gjrpreds$Mu  
d  <- e ^ 2 - gjrpreds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # yields 6.965095e-09

C'est en mangeant le pudding qu'on voit s'il est bon

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