Risiko eines Portfolios messen

Einführung in die Portfolioanalyse mit Python

Charlotte Werger

Data Scientist

Portfoliorisiko

Investieren ist riskant: einzelne Assets steigen oder fallen
Erwartete Rendite ist eine Zufallsvariable
Die Streuung um den Mittelwert misst die Varianz $\sigma^2$; sie ist ein gängiges Maß für Volatilität
$\sigma^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^N (X -\mu)^2}{N}$

Risiko als Balanceakt

Varianz

Die Varianz eines einzelnen Assets variiert: manche streuen mehr oder weniger um den Mittelwert
Die Portfoliovarianz ist nicht einfach die gewichtete Summe der Einzelvarianzen
Da Renditen korreliert sind, wird es komplex

Verteilungen mit hoher und niedriger Varianz

Wie hängen Varianz und Korrelation mit Portfoliorisiko zusammen?

Die Korrelation zwischen Asset 1 und 2 ist $\rho_{1,2}$ und zeigt, wie stark sie sich gemeinsam bewegen
Die Portfoliovarianz berücksichtigt die Varianzen der Einzelassets ($\sigma_1^2, \sigma_2^2, …$), die Gewichte im Portfolio ($w_1, w_2$) und ihre Korrelation
Die Standardabweichung ($\sigma$) ist die Wurzel der Varianz ($\sigma^2$); beide messen Volatilität

Portfoliovarianz berechnen

$$ Formel für die Portfoliovarianz

$\rho_{1,2} \sigma_1 \sigma_2$ heißt Kovarianz zwischen Asset 1 und 2
Die Kovarianz kann auch als $ \sigma_{1,2} $ geschrieben werden
So können wir schreiben:

Umgeschriebene Formel für die Portfoliovarianz

Portfoliovarianz kürzer schreiben

Formel für die Portfoliovarianz

Das lässt sich in Matrixschreibweise umformen – praktischer für Code:

Portfoliovarianz in Matrixschreibweise

In Worten, was wir in Python berechnen:

Portfoliovarianz = transponierte Gewichte × (Kovarianzmatrix × Gewichte)

Portfoliovarianz in Python

price_data.head(2)

ticker        AAPL       FB        GE       GM       WMT
date                    
2018-03-21    171.270    169.39    13.88    37.58    88.18
2018-03-22    168.845    164.89    13.35    36.35    87.14

# Calculate daily returns from prices
daily_returns = df.pct_change()

# Construct a covariance matrix for the daily returns data
cov_matrix_d = daily_returns.cov()

Portfoliovarianz in Python

# Construct a covariance matrix from the daily_returns
cov_matrix_d = (daily_returns.cov())*250
print (cov_matrix_d)

        AAPL          FB          GE          GM          WMT                    
AAPL    0.053569    0.026822    0.013466    0.018119    0.010798
FB      0.026822    0.062351    0.015298    0.017250    0.008765
GE      0.013466    0.015298    0.045987    0.021315    0.009513
GM      0.018119    0.017250    0.021315    0.058651    0.011894
WMT     0.010798    0.008765    0.009513    0.011894    0.041520

weights = np.array([0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2])

Portfoliovarianz in Python

# Calculate the variance with the formula
port_variance = np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix_a, weights))
print (port_variance)

0.022742232726360567

# Just converting the variance float into a percentage
print(str(np.round(port_variance, 3) * 100) + '%')

2.3%

port_stddev = np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix_a, weights)))
print(str(np.round(port_stddev, 3) * 100) + '%')
15.1%

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