Sind die Variablen in deinem GARCH‑Modell relevant?

GARCH-Modelle in R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Beispiel

Fall: AR(1)‑GJR‑GARCH‑Modell mit schiefen Student‑t‑Innovationen

names(coef(flexgarchfit))

"mu"     "ar1"    "omega"  "alpha1" "beta1"  "gamma1" "skew"   "shape"

Kannst du das Modell vereinfachen? $\Longleftrightarrow$ Sind manche Parameter null?
- Wenn der Parameter ar1 null ist, kannst du ein konstantes Mittelwertmodell verwenden.
- Wenn der Parameter gamma1 null ist, gibt es kein GARCH‑im‑Mittel und du kannst statt GJR ein Standard‑GARCH nutzen.

Challenge

Wir kennen den wahren Parameterwert nicht. Er muss geschätzt werden.
Achtung: Selbst wenn der wahre Parameter 0 ist, wird die Schätzung nicht genau 0 sein.
Beispiel: Sind die Parameter ar1 und gamma1 gleich 0?

round(coef(flexgarchfit), 6)

       mu       ar1     omega    alpha1     beta1    gamma1      skew     shape 
-0.000021  0.000150  0.000000  0.034281  0.968688 -0.010093  1.013487  9.139252

Test auf statistische Signifikanz

Verwende statistische Tests, um zu entscheiden, ob die Größe des geschätzten Parameters groß genug ist, um zu schließen, dass der wahre Parameter nicht null ist.
Wie? Durch Vergleich des geschätzten Parameters mit seinem Standardfehler

Standardfehler ist die Standardabweichung der Parameterschätzung

t‑Statistik

t‑Statistik = geschätzter Parameter / Standardfehler

Beispiel für MSFT‑Renditen

Modell spezifizieren und schätzen

flexgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                            variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                            distribution.model = "sstd")
flexgarchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = flexgarchspec)

Tabelle mit Schätzungen, Standardfehlern und t‑Statistiken ausgeben mit:

round(flexgarchfit@fit$matcoef, 6)

Tabelle der Parameterschätzungen

round(flexgarchfit@fit$matcoef, 6)

        Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
mu      0.000610    0.000189   3.220843 0.001278
ar1    -0.037799    0.013718  -2.755532 0.005860
omega   0.000002    0.000001   2.617696 0.008853
alpha1  0.034574    0.003395  10.182558 0.000000
beta1   0.935927    0.007163 130.667531 0.000000
gamma1  0.055483    0.009772   5.677857 0.000000
skew    1.059959    0.020676  51.264435 0.000000
shape   4.392327    0.256700  17.110745 0.000000

Hinweis: 3.220843 = 0.000610 / 0.000189, -2.755532 = -0.037799 / 0.013718, ...

Interpretation der t‑Statistik

t‑Statistik = geschätzter Parameter / Standardfehler

Ihr Betrag ist ein Abstandsmaß: Er zeigt, wie viele Standardfehler die Schätzung von 0 entfernt ist.
Je größer der Abstand, desto mehr spricht gegen 0.

Faustregel für die Entscheidung:

Wenn |t‑Statistik| > 2
Dann ist die Schätzung statistisch signifikant
Daher schließen wir: wahrer Parameter $\neq$ 0.

Fazit für MSFT‑Renditen mit t‑Statistiken

Alle t‑Statistiken sind größer als 2: Alle Parameterschätzungen sind statistisch signifikant.

        Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
mu      0.000610    0.000189   3.220843 0.001278
ar1    -0.037799    0.013718  -2.755532 0.005860
omega   0.000002    0.000001   2.617696 0.008853
alpha1  0.034574    0.003395  10.182558 0.000000
beta1   0.935927    0.007163 130.667531 0.000000
gamma1  0.055483    0.009772   5.677857 0.000000
skew    1.059959    0.020676  51.264435 0.000000
shape   4.392327    0.256700  17.110745 0.0000000

Zum gleichen Schluss kommst du über die p‑Werte in der letzten Spalte.

Interpretation des p‑Werts

Der p‑Wert misst, wie wahrscheinlich es ist, dass der Parameter null ist:
- Je kleiner er ist, desto mehr spricht gegen Null.

Faustregel für die Entscheidung:

Wenn p‑Wert < 5%
Dann ist die Schätzung statistisch signifikant
Daher schließen wir: wahrer Parameter $\neq$ 0

Lass uns üben!

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