GARCH-Modelle: Der Weg nach vorn

GARCH-Modelle in R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Erfinder der GARCH-Modelle

Robert Engle

Engle

Tim Bollerslev

Bollie

Predicted volatilities

Zum Zeitpunkt $t-1$ sagst du die künftige Rendite $R_t$ voraus – mit der am Zeitpunkt $t-1$ verfügbaren Informationsmenge:

Predicted volatilities

Vorhersage der durchschnittlichen Rendite: Was ist die bestmögliche Prognose der tatsächlichen Rendite?

Danach prognostizieren wir die Varianz: Wie weit kann die Rendite vom Mittelwert abweichen?

Wir brauchen eine Gleichung, die vergangene Renditen auf eine Prognose des Mittels abbildet

Zu AR(MA)-Modellen für das Mittel siehe den Datacamp-Kurs zur Zeitreihenanalyse.

Wir brauchen eine Gleichung, die vergangene Renditen auf Prognosen der Varianz abbildet

Wir brauchen eine Gleichung, die vergangene Renditen auf Prognosen der Varianz abbildet

Wir brauchen eine Gleichung, die vergangene Renditen auf Prognosen der Varianz abbildet

Damit der GARCH-Prozess realistisch ist, gilt:

$\omega$, $\alpha$ und $\beta$ sind $>0$: Das stellt sicher, dass $\sigma^2_t$ immer $>0$ ist.
$\alpha + \beta < 1$: Das stellt sicher, dass die prognostizierte Varianz $\sigma^2_t$ stets zur langfristigen Varianz zurückkehrt:
- Die Varianz ist daher „mittelwertrevertierend"
- Die langfristige Varianz ist $ \frac{\omega}{1-\alpha-\beta}$

$$ \sigma^{2}_{t} = \omega + \alpha e^{2}_{t-1} \beta \sigma^{2}_{t-1} $$

# Parameterwerte setzen
alpha <- 0.1
beta <- 0.8
omega <- var(sp500ret) * (1 - alpha - beta)
# Dann: var(sp500ret) = omega / (1 - alpha - beta)

# Reihe der Prognosefehler setzen
e <- sp500ret - mean(sp500ret) # Konstanter Mittelwert
e2 <- e ^ 2

# Für jede Beobachtung die Varianz prognostizieren. 
nobs <- length(sp500ret)
predvar <- rep(NA, nobs)

# Prozess mit der Stichprobenvarianz initialisieren
predvar[1] <- var(sp500ret)

# Schleife ab 2 wegen verzögertem Prädiktor
for (t in 2:nobs){
   predvar[t] <- omega + alpha * e2[t - 1] + beta * predvar[t-1]
}

# Volatilität ist die Wurzel der prognostizierten Varianz
predvol <- sqrt(predvar)
predvol <- xts(predvol, order.by = time(sp500ret))

# Vergleich mit der unbedingten Volatilität
uncvol <- sqrt(omega / (1 - alpha-beta))
uncvol <- xts(rep(uncvol, nobs), order.by = time(sp500ret))

# Plot
plot(predvol)
lines(uncvol, col = "red", lwd = 2)

Predicted volatilities

GARCH-Modelle in R