GARCH-Volatilität führt zu zeitvariabler Rendite-Streuung

GARCH-Modelle in R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

GARCH-Kovarianz

Wenn zwei Anlagenrenditen $R_{1,t}$ und $R_{2,t}$ Korrelation $\rho$ und zeitvariable Volatilitäten $\sigma_{1,t}$ und $\sigma_{2,t}$ haben, dann ist ihre Kovarianz:

$$ \sigma_{12, t} = \rho \sigma_{1, t} \sigma_{2, t} $$

GARCH-Kovarianzschätzung in vier Schritten

Schritt 1: Verwende ugarchfit(), um das GARCH-Modell für jede Renditereihe zu schätzen.

msftgarchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec) 
wmtgarchfit <- ugarchfit(data = wmtret, spec = garchspec)

Schritt 2: Verwende residuals(), um die standardisierten Renditen zu berechnen.

stdmsftret <- residuals(msftgarchfit, standardize = TRUE)
stdwmtret <- residuals(wmtgarchfit, standardize = TRUE)

Schritt 3: Verwende cor(), um $\rho$ als Stichprobenkorrelation der standardisierten Renditen zu schätzen.

msftwmtcor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdwmtret)) # equals 0.298795

GARCH-Kovarianzschätzung in vier Schritten

Schritt 4: Berechne die GARCH-Kovarianz durch Multiplikation der geschätzten Korrelation und Volatilitäten

msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)

GARCH-Kovarianz

Anwendungen der Kovarianz in der Finanzwelt

Zahlreich!
Wichtiger Fall: Varianz des Portfolios optimieren.
Sie hängt ab von:
- den Portfolio-Gewichten
- der Varianz aller Assets
- der Kovarianz zwischen den Renditen

Anwendung auf Portfolio-Optimierung

Varianz eines Zwei-Asset-Portfolios mit Gewicht $w_{1,t}$ in Asset 1 und $(1-w_{1,t})$ in Asset 2:

$$ \sigma^{2}_{p, t} = w^{2}_{1, t} \sigma^{2}_{1, t} + (1 - w_{1, t})^{2} \sigma^{2}_{2, t} + 2 w_{1, t} (1 - w_{1, t}) \sigma_{12, t} $$

Es gibt viele Definitionen für optimales $w_{1,t}$. Ein Ansatz setzt $w_{1,t}$ so, dass die Portfoliovarianz $\sigma_{t}^2$ minimiert wird.

Bedingung erster Ordnung für das Minimum-Varianz-Portfolio:

$$ \frac{\partial \sigma^{2}_{p, t}}{\partial w_{1, t}} = 2 w_{1, t} (\sigma^{2}_{1, t} + \sigma^{2}_{2, t} - 2 \sigma_{12, t}) - 2 (\sigma^{2}_{2, t} - \sigma_{12, t}) = 0 $$

Gewichte des Minimum-Varianz-Portfolios

Lösung: Min-Varianz-Gewichte

Berechnung in R:

msftvar <- sigma(msftgarchfit) ^ 2
wmtvar <- sigma(wmtgarchfit) ^ 2
msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)
msftweight <- (wmtvar - msftwmtcov) / (msftvar + wmtvar - 2 * msftwmtcov)

GARCH-Kovarianz

Dynamisches Beta

Die Schätzung des Aktien-Beta misst das systematische Risiko einer Aktie.

Definiert als Kovarianz der Aktienrendite mit der Marktrendite, geteilt durch die Varianz der Marktrendite

$$ \beta_{t} = \frac{\textnormal{Kovarianz zwischen Aktienrendite und Marktrendite}}{\textnormal{Varianz der Marktrendite}} $$

Wird zur Berechnung der Risikoprämie benötigt. Je höher, desto riskanter die Aktie und desto höher die geforderte Rendite.

Für US-Aktien ist die Marktrendite die Rendite des S&P 500.

Das tägliche Beta von MSFT

Berechne die Kovarianz zwischen MSFT- und S&P-500-Renditen

msftsp500cor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdsp500ret))
msftsp500cov <- msftsp500cor * sigma(msftgarchfit) * sigma(sp500garchfit)

Berechne die Varianz der S&P-500-Renditen

sp500var <- sigma(sp500garchfit) ^ 2

Berechne das Beta

msftbeta <- msftsp500cov / sp500var

MSFT-Beta

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