Nur Daten verwenden, die zum Vorhersagezeitpunkt verfügbar waren

GARCH-Modelle in R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Volatilitätsvorhersage durch Anwenden von `sigma()` auf ein `ugarchforecast`-Objekt

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                        variance.model = list(model = "sGARCH"),
                        distribution.model = "norm")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)
garchforecast <- ugarchforecast(fitORspec = garchfit, n.ahead = 3)
sigma(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.005034754
T+2  0.005127582
T+3  0.005217770

Volatilitätsschätzung durch Anwenden von `sigma()` auf ein `ugarchfit`-Objekt (i)

head(sigma(garchfit), 3)

1989-01-04 0.01099465
1989-01-05 0.01129167
1989-01-06 0.01084294

tail(sigma(garchfit), 3)

2017-12-27 0.005051926
2017-12-28 0.004947569
2017-12-29 0.004862908

Volatilitätsschätzung durch Anwenden von sigma() auf ein ugarchfit-Objekt (ii)

Look-ahead-Bias: Zukünftige Renditen werden zur Schätzung der Volatilität genutzt.

Lösung gegen Look-ahead-Bias: Rolling-Schätzung

Programmiere eine for-Schleife: Iteriere über die Vorhersagezeitpunkte und nutze ugarchfit() zur Parameterschätzung und ugarchforecast() für die Volatilitätsprognose
Eingebaute Funktion ugarchroll() im Paket rugarch
Optionen:
- Länge des Schätzfensters
- Häufigkeit der erneuten Schätzung

Expanding-Window-Schätzung

Nutze alle zum Vorhersagezeitpunkt verfügbaren Renditen

Moving-Window-Schätzung

Nutze nur eine feste Anzahl der bis zum Vorhersagezeitpunkt verfügbaren Renditebeobachtungen

Eigenschaften der Rolling-Window-Schätzung

Rolling-Window passt sich Änderungen in den Modellparametern an
Rechenaufwand von ugarchroll() entsteht durch die Schleife über Vorhersagezeiten:
- Lässt sich senken, indem du seltener neu schätzt als du vorhersagst

Rolling und erneute Schätzung

Reduziere den Rechenaufwand, indem du das Modell nur alle $K$ Beobachtungen neu schätzt

Funktion ugarchroll

garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

Zu spezifizierende Argumente:

verwendete GARCH-Spezifikation
data : zu nutzende Renditedaten
n.start: Größe des initialen Schätzfensters
refit.window: Veränderung des Fensters über die Zeit: "moving" oder "expanding
refit.every: wie oft das Modell neu geschätzt wird

Beispiel: tägliche EUR/USD-Renditen Jan 1999–Dez 2018

Für die 4.961 EUR/USD-Renditen mit 4.961 Beobachtungen, beginnend am 1999-01-05, und einem Moving-Schätzfenster von 2.500 Beobachtungen:

Ausgabe sich ändernder Parameter

Die Methode coef() liefert eine Liste mit den geschätzten Koeffizienten je Schätzung

coef(garchroll)[[1]]

$index
"2008-12-08"

$coef
            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
mu     -1.480000e-04 1.330915e-04 -1.11201737 0.2661307
ar1    -2.953484e-03 1.985344e-02 -0.14876432 0.8817396
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000
shape   1.098068e+01 2.609293e+01  0.42082981 0.6738794

Änderungen zwischen Schätzfenstern

coef(garchroll)[[1]]$coef # 2008-12-08

            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000

coef(garchroll)[[5]]$coef # 2016-11-28

            Estimate   Std. Error      t value     Pr(>|t|)
omega   8.982527e-08 2.639680e-05  0.003402885 9.972849e-01
alpha1  4.149787e-02 2.550381e-01  0.162712424 8.707449e-01
beta1   9.573885e-01 2.195782e-01  4.360125676 1.299878e-05

Wie lauten rollierende prognostizierte Mittelwert und Volatilität?

Für die EUR/USD-Renditen mit n.start = 2500 ist die erste Vorhersage für Beobachtung 2501, also 2008-12-09:

Methode as.data.frame()

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds, 3)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142

Hinweis:

preds$Mu: Serie der prognostizierten Mittelwerte
preds$Sigma: Serie der prognostizierten Volatilitäten

Prognostizierte Volatilitäten

garchvol <- xts(preds$Sigma, order.by = as.Date(rownames(preds)))
plot(garchvol)

Genauigkeit der Rolling-Prognosen

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142
2008-12-12 -8.845214e-05 0.01199756    0 10.98068          0 -0.0041201588
2008-12-15 -1.362683e-04 0.01184438    0 10.98068          0 -0.0230532787
2008-12-16 -8.034966e-05 0.01228900    0 10.98068          0 -0.0105720492

Bewerte die Genauigkeit von preds$Mu und preds$Sigma im Vergleich zu preds$Realized

Mittlerer quadrierter Vorhersagefehler für den Mittelwert

# Vorhersagefehler für den Mittelwert
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
mean(e ^ 2)

3.867998e-05

Mittlerer quadrierter Vorhersagefehler für die Varianz

# Vorhersagefehler für den Mittelwert
e  <- preds$Realized - preds$Mu  

# Vorhersagefehler für die Varianz
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2)

6.974161e-09

Zwei Modelle vergleichen

Standard-GARCH mit Student-t-Verteilung

tgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
     variance.model = list(model = "sGARCH"), distribution.model = "std")
garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

GJR-GARCH mit schiefer Student-t-Verteilung

gjrgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
   variance.model = list(model = "gjrGARCH"), distribution.model = "sstd")
gjrgarchroll <- ugarchroll(gjrgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
            refit.window = "moving", refit.every = 500)

Vergleich der Vorhersagegenauigkeit

Standard-GARCH mit Student-t-Verteilung

preds <- as.data.frame(garchroll)
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # ergibt 6.974161e-09

GJR-GARCH mit schiefer Student-t-Verteilung

gjrpreds <- as.data.frame(gjrgarchroll)
e  <- gjrpreds$Realized - gjrpreds$Mu  
d  <- e ^ 2 - gjrpreds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # ergibt 6.965095e-09

Die Probe aufs Exempel

GARCH-Modelle in R