Prüfe deine Annahmen zu Mittelwert und Varianz

GARCH-Modelle in R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Check 1: Mittelwert und Standardabweichung der standardisierten Renditen

Formel standardisierter Renditen

$$ Z_{t} = \frac{R_{t} - \hat{\mu_{t}}}{ \hat{\sigma_{t}}} $$

Erster Modellcheck:
- Stichprobenmittel der standardisierten Renditen $\approx$ 0
- Stichprobenstandardabweichung der standardisierten Renditen $\approx$ 1

Check 2: Zeitreihendiagramm der standardisierten Renditen

Zweiter Modellcheck:
- Zeitreihendiagramm der standardisierten Renditen
- standardisierte Renditen sollten konstante Streuung haben

Check 3: Keine Vorhersagbarkeit in den absoluten standardisierten Renditen

Dritter Modellcheck:
- prüfe, dass keine Korrelation zwischen der vergangenen absoluten standardisierten Rendite und der aktuellen absoluten standardisierten Rendite besteht.
- das heißt: $ Corr(|Z_{t-k}|, |Z_{t}|) \approx 0 $ für $k>0$
Warum?
- Die Größe der absoluten standardisierten Rendite sollte konstant sein $\rightarrow$ keine Korrelationen in den absoluten standardisierten Renditen.

Autokorrelationen

Solche Korrelationen innerhalb einer Zeitreihe heißen Autokorrelationen der Ordnung k
- $k=1$: $Corr(|Z_{t-1}|, |Z_{t}|)$: Korrelation der aktuellen absoluten standardisierten Rendite mit ihrem vorherigen Wert.
- $k=2$: $Corr(|Z_{t-2}|, |Z_{t}|)$: Korrelation der aktuellen absoluten standardisierten Rendite mit ihrem Wert vor zwei Perioden.
- ...
Alle diese sollten 0 sein. Ausnahme:
- $k=0$: $Corr(|Z_{t}|, |Z_{t}|)$: Korrelation der absoluten standardisierten Rendite mit sich selbst: gleich 1.

acf()

In R kannst du diese Autokorrelationen mit der Autokorrelationsfunktion acf() berechnen
- Input: Zeitreihe, maximale Ordnung
- Output: Das Korrelogramm: Diagramm mit den Werten der Autokorrelation für verschiedene Ordnungen $k = 0, 1, ...$.

Anwendung auf MSFT

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                        distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec)
stdmsftret <- residuals(garchfit, standardize = TRUE)

acf(abs(msftret), 22)
acf(abs(stdmsftret), 22)

Check 4: Ljung-Box-Test

Vierter Modellcheck:
- Ljung-Box-Test, dass die ersten k Autokorrelationen in den absoluten standardisierten Renditen $|Z_t$| null sind: $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-k}|) = 0 $$
- Ähnlich einem $t$-Test auf statistische Signifikanz der geschätzten Parameter, aber hier wollen wir 0, um ein gutes Modell zu haben.

Faustregel: p-Wert unter 5 % zeigt an, dass das verwendete Modell nicht gültig ist.

Ljung-Box-Test in R

In R: Funktion Box.test() mit 3 Argumenten:
- Serie
- maximale Ordnung, für die Autokorrelationen null sind
- type = "Ljung-Box"

Beispiel:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

Output: p-Wert
- Faustregel: p-Wert unter 5 % zeigt an, dass das verwendete Modell nicht gültig ist.

Box.test mit absoluten standardisierten MSFT-Renditen

Test auf absoluten standardisierten Renditen:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

    Box-Ljung test
data:  abs(stdmsftret)
X-squared = 25.246, df = 22, p-value = 0.2855

Hinweis: p-Wert ist 28,55 % > 5 %. Wir können nicht zurückweisen, dass: $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-22}|) = 0 $$

Diagnostiziere die absoluten standardisierten Renditen.

GARCH-Modelle in R