Multivariate t-Verteilungen

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Parameter für multivariate Verteilungen

Verteilung	Lageparameter	Skalierungsparameter
Normal	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Schief-normal	`xi`	`Omega`
Schief-t	`xi`	`Omega`

Parameter für multivariate Verteilungen

Verteilung	Lageparameter	Skalierungsparameter	Freiheitsgrade
Normal	`mean`	`sigma`	Nein
t	`delta`	`sigma`	Ja
Schief-normal	`xi`	`Omega`	Nein
Schief-t	`xi`	`Omega`	Ja

Univariate Normal- vs. univariate t-Verteilung

Vergleich

Standardnormalverteilung
t mit verschiedenen df

Vergleich der Schwänze von Normal- und t-Verteilung

Schwänze sind bei gleichem Cutoff dicker

$P(X< - 1.96 \text{ oder } X > 1.96)$

Verteilung	Wahrscheinlichkeit
Normal	0,05
t(df=1)	0,3
t(df=8)	0,0857
t(df=20)	0,0641
t(df=30)	0,0593

Schreibweise für multivariate t-Verteilungen

Verallgemeinerung der univariaten Student-t-Verteilung
- Häufig genutzte Variante hat einen Freiheitsgrad für alle Dimensionen und wird geschrieben als

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

Konturen von bivariat normaler und t-Verteilung

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Konturen einer t-Verteilung mit df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

Konturen einer bivariat normalen Verteilung

Funktionen für multivariate t-Verteilungen

Funktionen:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Zufallsstichproben erzeugen

Erzeuge Stichproben aus einer 3-dimensionalen t-Verteilung mit $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Vergleich mit Normalstichproben

t-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden

Normalverteilung

Vergleich mit Normalstichproben

t-Verteilung mit 10 Freiheitsgraden

Normalverteilung

Lass uns Stichproben aus einer multivariaten t-Verteilung erzeugen!

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R