Dichte einer multivariaten Normalverteilung

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Warum die Dichte einer Verteilung berechnen?

Univariate Normalfunktionen dnorm() normal

Wahrscheinlichkeitsdichte einer bivariaten Normalverteilung

Standard-bivariate Normalverteilung mit $$ \mu = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \Sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ animation

Funktion dmvnorm()

Dichtehöhen an mehreren Punkten (xy-Koordinaten) berechnet

density

Dichte mit dmvnorm

library(mvtnorm)
dmvnorm(x, mean, sigma)

x kann ein Zeilenvektor oder eine Matrix sein

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, .5, .5, 2), 2)
dmvnorm(x = c(0, 0), mean = mu1, sigma = sigma1)

0.0384

Dichte an mehreren Punkten mit dmvnorm

x <- rbind(c(0, 0), c(1, 1), c(0, 1)); x

[1,]    0    0
[2,]    1    1
[3,]    0    1

dmvnorm(x = x, mean = mu, sigma = sigma)

[1] 0.0384 0.0904 0.0679

Bivariate Dichten mit Perspektivplot darstellen

Schritte:

Gitter aus $x$- und $y$-Koordinaten erstellen
Dichte auf dem Gitter berechnen

Bivariate Dichten mit Perspektivplot darstellen

Schritte:

Gitter aus $x$- und $y$-Koordinaten erstellen
Dichte auf dem Gitter berechnen
Dichten in eine Matrix umwandeln
Perspektivplot mit der Funktion persp() erzeugen

Code zum Darstellen bivariater Dichten

# Gitter erstellen
d <- expand.grid(seq(-3, 6, length.out = 50 ), seq(-3,  6, length.out = 50))                   

# Dichte auf dem Gitter berechnen
dens1 <- dmvnorm(as.matrix(d), mean=c(1,2), sigma=matrix(c(1, .5, .5, 2), 2))

# In Matrix umwandeln 
dens1 <-  matrix(dens1, nrow = 50 )

# Perspektivplot verwenden
persp(dens1, theta = 80, phi = 30, expand = 0.6, shade = 0.2, col = "lightblue", xlab = "x", ylab = "y", zlab = "dens")

Blickwinkel im Perspektivplot ändern

persp() mit theta = 30, phi = 30

persp() mit theta = 80, phi = 10

Lass uns üben!

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R