Kumulative Verteilung und inverse CDF

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Wann brauchen wir CDF und inverse CDF?

Normale Dichte mit $\mu=210$ und $\sigma=10$

Wann brauchen wir CDF und inverse CDF?

Fläche unter der Kurve für $x < 200$

Wann brauchen wir CDF und inverse CDF?

pnorm(200, mean = 210, sd = 10)

[1] 0.159

Wann brauchen wir CDF und inverse CDF?

Wie groß ist das $x_0$, so dass die kumulative Wahrscheinlichkeit bei $x_0$ gleich 0,95 ist?


qnorm( p = 0.95, mean = 210, sd = 10)


[1] 226.45

$\Rightarrow$ 95 % der Kaffeegläser enthalten weniger als 226.45 Gramm Kaffee

Kumulative Verteilung für eine bivariate Normalverteilung

Bivariate CDF bei x = 2 und y = 4 für eine Normalverteilung mit ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{pmatrix}}$

Kumulative Verteilung mit pmvnorm

Bivariate CDF bei x = 2 und y = 4 für eine Normalverteilung mit ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 2), 2)

pmvnorm(upper = c(2, 4), mean = mu1, sigma = sigma1)

[1] 0.79
attr(,"error")
[1] 1e-15
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Werten mit pmvnorm

Wahrscheinlichkeit für $ 1 < x < 2$ und $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Werten mit pmvnorm

Wahrscheinlichkeit für $ 1 < x < 2$ und $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

[1] 0.163

Inverse CDF für bivariate Normalverteilung

Die dunkelrote Ellipse ist das 0,95-Quantil

qmvnorm

qmvnorm zur Quantilberechnung verwenden

sigma1 <- diag(2)
sigma1

     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

qmvnorm(p = 0.95, sigma = sigma1, tail = "both")

$quantile
[1] 2.24
$f.quantile
[1] -1.31e-06
attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

Der rote Kreis mit Radius 2,24 enthält 0,95 der Wahrscheinlichkeit

Lass uns üben!

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R