Dichte und kumulative Dichte für multivariate t

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Beispiel für die multivariate t-Verteilung

Einzelne Aktien
- Univariate t
Portfolio (3 Aktien)
- Multivariate t
Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Aktien zwischen $100–150 liegen
- pmvt()
Wertebereich, in dem die Aktien 95 % der Zeit schwanken
- qmvt()

Dichte mit dmvt

dmvt(x, delta = rep(0, p), sigma = diag(p), log = TRUE)

x kann ein Vektor oder eine Matrix sein
Anders als bei dmvnorm erfolgt die Standardberechnung im Log-Maßstab

Um Dichten im natürlichen Maßstab zu erhalten, nutze

dmvt(x, delta = rep(0, p), sigma = diag(p), log = FALSE)

Dichte einer multivariaten t-Verteilung auf einem Gitter berechnen

x <- seq(-3, 6, by = 1); y <- seq(-3, 6, by = 1)
d <- expand.grid(x = x, y = y)                   
del1 <- c(1, 2); sig1 <- matrix(c(1, .5, .5, 2), 2)
dens <- dmvt(as.matrix(d), delta = del1, sigma = sig1, df = 10, log = FALSE)

scatterplot3d(cbind(d, dens), type = "h", zlab = "density")

Auswirkung veränderter Freiheitsgrade

Kumulative Dichte mit pmvt

pmvt(lower = -Inf, upper = Inf, delta, sigma, df, ...)

Berechnet die CDF bzw. das Volumen, ähnlich der Funktion pmvnorm()

pmvt(lower = c(-1, -2), upper = c(2, 2), delta = c(1, 2), sigma = diag(2), df = 6)

[1] 0.3857
attr(,"error")
[1] 0.0002542
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

Inverse CDF der t-Verteilung

qmvt(p, interval, tail, delta, sigma, df)

Berechnet das Quantil der multivariaten t-Verteilung
Rechentechnik ähnlich der Funktion qmvnorm()

Berechne das 0,95-Quantil für 3 Freiheitsgrade

qmvt( p = 0.95, sigma = diag(2), tail = "both", df = 3)

$quantile
[1] 3.96

$f.quantile
[1] -1.05e-06

attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

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