Multivariate Normalverteilung

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Eindimensionale Normalverteilung

Eindimensionale Normalverteilung mit Mittelwert 2 und Varianz 1

Dichteform einer zweidimensionalen Normalverteilung animation

Zweidimensionale Normaldichte – 3D-Dichteplot

${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

surface

Zweidimensionale Normaldichte – Konturplot

${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

contour

Zweidimensionale Normaldichte mit anderem Mittelwert

${\mu}={\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Zweidimensionale Normaldichte mit anderer Varianz

${\mu}={\begin{pmatrix}\phantom{-}1 \\\phantom{-}2 \end{pmatrix}} ,\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$

Zweidimensionale Normaldichte mit starker Korrelation

${\mu}={\begin{pmatrix}\phantom{-}1 \\\phantom{-}2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix}1& 0.95 \\0.95 & 1 \end{pmatrix}}$

Funktionen für statistische Verteilungen in R

Der erste Buchstabe steht für
- p für „probability"
- q für „quantile"
- d für „density"
- r für „random"

Die Funktion rmvnorm

library(mvtnorm)
rmvnorm(n, mean , sigma)

Anzugeben sind:

n die Anzahl der Stichproben
mean der Mittelwert der Verteilung
sigma die Varianz-Kovarianz-Matrix

Mit rmvnorm Zufallsstichproben erzeugen

Erzeuge 1000 Stichproben aus einer 3-dimensionalen Normalverteilung mit

$$ \mu= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} $$

mu1 <- c(1, 2, -5) 
sigma1 <- matrix(c(1,1,0,
                  1,2,0,
                  0,0,5),3,3)
set.seed(34)                  
rmvnorm(n = 1000, mean = mu1, sigma = sigma1)

Plot der generierten Stichproben simulation

Lass uns das Simulieren aus einer multivariaten Normalverteilung üben!

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R