Multivariate schiefe Verteilungen

Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Schiefe multivariate Verteilung: Streudiagramm

Durchflusszytometrie-Daten – Seitwärtsstreuung (SSC) und Vorwärtsstreuung (FSC)

Schiefe multivariate Verteilung: Konturlinien

Durchflusszytometrie-Daten – Seitwärtsstreuung (SSC) und Vorwärtsstreuung (FSC)

Univariate Schief-Normalverteilung

Allgemeine Schief-Normalverteilung: $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ und $\omega$ sind Lage- bzw. Skalenparameter

Einfachste Form: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ ist der Schiefeparameter

Spannweite univariater Schief-Normalverteilungen

Vergleich von $SN(\alpha)$ mit einer Standardnormalverteilung

Für $\alpha>0$ nach rechts schief
Für $\alpha<0$ nach links schief
$SN(0)$ entspricht der Standardnormalverteilung

Multivariate Schief-Normalverteilung

Notation: dreidimensionale multivariate Schief-Normalverteilung

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ Lageparameter (Vektor der Länge $3$)
$\Omega$ Varianz-Kovarianz-Parameter ($3 \times 3$-Matrix)
$\alpha$ Schiefeparameter (Vektor der Länge $3$)

Konturlinien der bivariaten Schief-Normalverteilung

Bivariate Schief-Normalverteilung

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Funktionen für Schief-Normalverteilung

Aus dem Paket sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Du musst xi, Omega, alpha angeben

Funktionen für Schief-t-Verteilung

Aus dem Paket sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Du musst xi, Omega, alpha, nu (Freiheitsgrade) angeben

Schief-normale Stichproben erzeugen

Erzeuge 2000 Stichproben aus einer 3-dimensionalen Schief-Normalverteilung

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# xi, Omega und alpha festlegen
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Stichproben erzeugen
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Stichprobe aus Schief-Normalverteilung

Schief-t-Stichproben erzeugen

Erzeuge 2000 Stichproben aus einer 3-dimensionalen Schief-t-Verteilung mit

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Stichproben erzeugen
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Parameterschätzung aus Daten

Zur Parameterschätzung einer Schief-Normalverteilung ist ein iteratives Verfahren nötig
- Keine explizite Formel zur direkten Berechnung
Mehrere Funktionen im Paket sn, darunter msn.mle()

Parameterschätzung aus Daten

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Die Stichproben wurden erzeugt mit:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Lass uns mit Schief-Normalverteilungen üben!

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