Zu Prämienzahlungen und Altersvorsorge

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Prämien zahlen

Ziel der Prämienkalkulation:
- Prämien + Zinsen sollen Leistungen decken.
Vorgehen:
- Versicherungsmathematische Gleichwertigkeit zwischen Prämien- und Leistungsvektor herstellen.
- Prämienzahlungen als Leibrente auf $(x)$ behandeln.

Mrs. Incredibles Altersvorsorge

Mrs. Incredible ist 35 Jahre alt.

Sie möchte eine Leibrente kaufen, die lebenslang 12.000 EUR jährlich zahlt, beginnend mit 65.

Sie finanziert mit Jahresprämien, zahlbar 30 Jahre ab Alter 35. Nach 15 Jahren halbieren sich die Prämien.

Wie hoch ist ihre Anfangsprämie?

Mrs. Incredibles Altersvorsorge im Bild

Mrs. Incredibles Altersvorsorge in R

Sie ist 35 Jahre alt, lebt in Belgien, Jahr 2013.
Zinssatz: 3 %.

Überlebenswahrscheinlichkeiten

# Survival probabilities of (35)
kpx <- c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))

Abzinsungsfaktoren

# Discount factors 
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))

Leistungen

# Benefits
benefits <- c(rep(0, 30), rep(12000, length(kpx) - 30))
# EPV of the life annuity benefits
sum(benefits * discount_factors * kpx)

70928.84

Prämienmuster rho

# Premium pattern rho
rho <- c(rep(1, 15), rep(0.5, 15), rep(0, length(kpx) - 30))
# EPV of the premium pattern
sum(rho * discount_factors * kpx)

16.01978

Mrs. Incredibles Altersvorsorge in R

Versicherungsmathematische Gleichwertigkeit

$$ P = \frac{\text{EPV}(\text{benefits})}{\text{EPV}(\text{rho})}. $$

# The ratio of the EPV of the life annuity benefits 
# and the EPV of the premium pattern
sum(benefits * discount_factors * kpx) / sum(rho * discount_factors * kpx)

4427.578

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