Lebenserwartungen berechnen

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

Die gekürzte künftige Lebensdauer

  • $K_x = \lfloor T_x \rfloor$, die Anzahl voller gelebter Jahre
    $\quad \,$ von $(x)$ in der Zukunft.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

  • Berechne $Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$.
# 5 Jahre aufgeschobene Sterbewahrscheinlichkeit von (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Alternativ
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664
Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Die gekürzte Lebenserwartung

  • Der Erwartungswert von $K_x$ heißt gekürzte Lebenserwartung:

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Die Lebenserwartung eines Superhelden

 

Mr. Incredible ist 35 Jahre alt und lebt in Belgien.

Als selbstständiger Superheld muss er seine Finanzplanung regeln.

Wie schätzt man seine gekürzte künftige Lebensdauer?

Kannst du helfen?

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Die Lebenserwartung eines Superhelden in R

Berechne $E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$.

# Einjahres-Überlebenswahrscheinlichkeiten
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# k‑Jahres‑Überlebenswahrscheinlichkeiten von (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# gekürzte erwartete künftige Lebensdauer von (35)
sum(kp35)

43.53192
Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Die erwartete künftige Lebensdauer

  • Wie kommst du von $E[K_x]$ zu $E[T_x]$?

  • Also: von der gekürzten zur vollständigen Lebenserwartung?

  • Nutze:

    $$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Die Lebenserwartung eines Superhelden in R

Vergleiche $E[K_{35}]$ mit $E[T_{35}]$.

# Gekürzte Lebenserwartung von (35)
sum(kp35)

43.53192

# Vollständige Lebenserwartung von (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03
Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Lass uns üben!

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Preparing Video For Download...