Dynamik

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Mehrere DataFrames mit Sterbewahrscheinlichkeiten

Betrachte $\{ q_x \} _{x\geq 0}$ oder $\{p _ x \} _{x \geq 0}$ über mehrere Perioden:

Entwicklung der Sterbewahrscheinlichkeiten über die Zeit

$q_{x,t}$ ist nun die Sterbewahrscheinlichkeit für einen $x$-Jährigen in Periode $t$.

Periodenansatz

Berechne die Überlebenswahrscheinlichkeit $_kp_{x,t}$ vertikal:

$$ _kp_{x,t} = p_{x,t} \cdot p_{x+1,t} \cdot \ldots \cdot p_{x+k-1,t} $$

Kohortenansatz

Berechne die Überlebenswahrscheinlichkeit $_kp_{x,t}$ diagonal:

$$ _kp_{x,t} = p_{x,t} \cdot p_{x+1,t+1} \cdot \ldots \cdot p_{x+k-1,t+k-1} $$

Sterbetafeln über die Zeit in R

head(life_table)

  year age      qx     lx    dx    ex
1 1841   0 0.16580 100000 16580 40.28
2 1841   1 0.07148  83420  5963 47.22
3 1841   2 0.03905  77457  3025 49.82
4 1841   3 0.02306  74432  1716 50.82
5 1841   4 0.01693  72716  1231 51.01
6 1841   5 0.01233  71485   881 50.88

tail(life_table)

      year age      qx lx dx   ex
19420 2015 105 0.49719 40 20 1.46
19421 2015 106 0.51410 20 10 1.40
19422 2015 107 0.52979 10  5 1.35
19423 2015 108 0.54425  5  3 1.31
19424 2015 109 0.55749  2  1 1.28
19425 2015 110 1.00000  1  1 1.26

Perioden-Überlebenswahrscheinlichkeiten eines berühmten Belgiers in R

Jacques Brel ist ein belgischer Sänger, geboren 1929, gestorben mit 49.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $_{49|}q_{0, 1929}$, dass ein Neugeborenes von 1929 mit 49 stirbt?
Perioden- bzw. vertikale Berechnung:

period_life_table <- subset(life_table, year == 1929)
qx <- period_life_table$qx
px <- 1 - qx
prod(px[1:(48 + 1)]) * qx[49 + 1]

0.008456378

Kohorten-Überlebenswahrscheinlichkeiten eines berühmten Belgiers in R

Jacques Brel ist ein belgischer Sänger, geboren 1929, gestorben mit 49.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $_{49|}q_{0, 1929}$, dass ein Neugeborenes von 1929 mit 49 stirbt?
Kohorten- bzw. diagonale Berechnung:

cohort_life_table <- subset(life_table, year - age == 1929)
qx <- cohort_life_table$qx
px <- 1 - qx
prod(px[(0 + 1):(48 + 1)]) * qx[49 + 1]

0.006410343

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