Die lebenslange, temporäre und aufgeschobene Leibrente

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Eine Reihe von Leistungen

Was wäre, wenn?
- Die Leistung ist $c_k$ EUR statt 1 EUR?
- Eine Reihe solcher reiner Erlebensfälle statt nur eines?

Allgemeiner Rahmen

Eine Leibrente auf $(x)$ mit Leistungs-Vektor

$$ (c_0,c_1, \ldots, c_k, \ldots) $$
Folge von reinen Erlebensfällen:
- jeweils mit $c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x$ als Barwert-Erwartung (EPV)
- zusammen:

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x $$

$\quad \, \quad \,$ der EPV.

Leibrenten in R

benefits <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:7)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(71 + 1)]))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

1945.545

Lebenslange vorschüssige Leibrente

Lebenslange Leibrente vorschüssig: zahle $c_k$ zu Beginn des Jahres $(k+1)$.

Lebenslange nachschüssige Leibrente

Lebenslange nachschüssige Leibrente: zahle $c_k$ am Ende des Jahres $(k+1)$.

Lebenslange Leibrenten in R

Berechne $\ddot{a}_{35}$ (vorschüssig) bei konstantem Zinssatz $i = 3\%$

# whole-life annuity due of (35)
kpx <- 
  c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))
discount_factors <- 
  (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

24.44234

und $a_{35}$ (nachschüssig)

# whole-life immediate annuity of (35)
kpx <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
discount_factors <- 
   (1 + 0.03) ^ - (1:length(kpx))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

23.44234

Temporäre vorschüssige Leibrente

Temporäre vorschüssige Leibrente: höchstens $n$ Jahre, von Zeitpunkt $0$ bis $n-1$.

Aufgeschobene lebenslange vorschüssige Leibrente

Aufgeschobene lebenslange vorschüssige Leibrente: keine Zahlungen in den ersten $u$ Jahren.

Lass uns üben!

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