Zukünftige Zufallslebensdauer

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Die zukünftige Zufallslebensdauer

$(x)$ bezeichnet eine Person, die jetzt $x$ Jahre alt ist, mit $x \geq 0$.
Die Zufallsvariable $T_x$ ist die zukünftige Lebensdauer von $(x)$.
Das Sterbealter von $(x)$ ist also $x + T_x$.

Die Sterbetafel in R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table enthält die Periodensterbetafel für Männer in Belgien, Jahr 2013.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Sterberaten und Überlebenswahrscheinlichkeiten

Einjahreswahrscheinlichkeit zu sterben

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ ist die Sterblichkeitsrate im Alter $x$.
Einjahreswahrscheinlichkeit zu überleben

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Also gilt: $p_x = 1 - q_x$.

Sterberaten belgischer Sportler in R

Eden Hazard ist ein belgischer Fußballer, spielt für Chelsea und ist 27 Jahre alt.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx ist ein belgischer Radfahrer, gewann 5-mal die Tour de France und ist 72.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Belgische Sterberaten $q_x$ in R visualisieren

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

Die Lebenserwartung

Die (vollständige) erwartete zukünftige Lebensdauer von $(x)$ ist $E[T_x]$.
Für Eden Hazard mit 27 Jahren:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

Für Eddy Merckx mit 72 Jahren:

ex[72 + 1]

12.67

Lebenserwartung in R visualisieren

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

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