Binomial experiments

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

Die Sterbetafel in R

  • life_table enthält die Periodensterbetafel für Männer in Belgien, Jahr 2013.
head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

# Variablen aus diesem Video
qx <- life_table$qx
px <- 1 - qx
lx <- life_table$lx
dx <- life_table$dx
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Ein binomiales Experiment: ein Jahr überleben

  • Fokus auf $\ell_x$ in life_table.
lx[0 + 1]

1e+05
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Ein binomiales Experiment: ein Jahr überleben

  • Die Zahl der Überlebenden bis Alter $x+1$ folgt BIN($\ell_x$,$\ p_{x}$).
lx[72 + 1]

73977

px[72 + 1]

0.97369

rbinom(n = 1, size = lx[72 + 1], prob = px[72 + 1])

72022
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Ein binomiales Experiment: ein Jahr überleben

  • Jetzt vektorisiert!
sims <- rbinom(n = length(lx), size = lx, prob = px)
head(sims)

99637 99567 99553 99546 99525 99515
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Ein binomiales Experiment: $k$ Jahre überleben

  • Die Zahl der 1-Jahres-Überlebenden folgt BIN($\ell_x$,$\ p_{x}$).
    $\quad \,$ Erwartungswert:
    $$ \ell_{x+1} = \ell_x \cdot p_x. $$

  • Die Zahl der $k$-Jahres-Überlebenden folgt BIN($\ell_x$,$\ _{k}p_{x}$).

$\quad \,$ Erwartungswert:

$$ \ell_{x+k} = \ell_{x} \cdot \ _{k}p_{x}. $$

$\quad \,$ Also:

$$ _{k}p_{x} = \frac{\ell_{x+k}}{\ell_{x}}. $$

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Ein binomiales Experiment: die Zahl der Todesfälle

  • Die Zahl der Todesfälle folgt BIN($\ell_x$,$\ q_{x}$).

$\quad \,$ Erwartungswert: $$ \large \begin{aligned} d_x &= \ell_x \cdot q_x \\ &= \ell_x \cdot (1-p_x) \\ &= \ell_x -\ell_{x+1}. \end{aligned} $$ 

dx[72 + 1]

1946

lx[72 + 1] - lx[73 + 1]

1946
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Überlebenswahrscheinlichkeiten in R

Berechne $_5p_{65} = \dfrac{\ell_{70}}{\ell_{65}}$.

# Wahrscheinlichkeit, dass (65) weitere 5 Jahre überlebt
lx[age == 70] / lx[age == 65]

0.9143957

# Alternativ
lx[70 + 1] / lx[65 + 1]

0.9143957
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Überlebenswahrscheinlichkeiten in R visualisieren

# Wahrscheinlichkeit, dass (65) bis Alter 65 + k überlebt
k <- 0:45
plot(k, 
     lx[65 + k + 1] / lx[65 + 1], 
     pch = 20, 
     xlab = "k", 
     ylab = expression(paste(""[k], "p"[65])))

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