Cashflows und Abzinsung

Bewertung von Lebensversicherungsprodukten in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Ein Cashflow

Lege eine Kapitaleinheit und eine Zeiteinheit fest:
- 0 ist der jetzige Zeitpunkt;
- $k$ liegt $k$ Zeiteinheiten in der Zukunft (z. B. Jahre, Monate, Quartale).
Betrag, der zum Zeitpunkt $k$ erhalten oder gezahlt wird:
- $c_k$
- der Cashflow zum Zeitpunkt $k$.

Ein Cashflow-Vektor in R

In R:

# Define the cash flows
cash_flows <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
length(cash_flows)

Allgemein: für einen Cashflow-Vektor $(c_0,c_1,\ldots,c_N)$:

Bewertung eines Cashflow-Vektors

Wichtig:
- Zeitpunkt der Cashflows zählt!
- Zeitwert des Geldes zählt!
Zinssatz bestimmt das Geldwachstum.

Zinssatz und Abzinsungsfaktor

Aufzinsung

$i$ ist der konstante Zinssatz.

i <- 0.03
1 * (1 + i)

1.03

Abzinsung

$v=\displaystyle \frac{1}{1+i}$ der Abzinsungsfaktor.

v <- 1 / (1 + i)
v

0.9708738

Von einer Periode zu k Perioden

Aufzinsung
- der Wert zum Zeitpunkt $k$ von 1 EUR, der zu $0$ gezahlt wurde, $=(1+i)^k = v^{-k}$.

i <- 0.03 ; v <- 1 / (1 + i) ; k <- 2
c((1 + i) ^ k, v  ^ -k)

1.0609 1.0609

Abzinsung
- der Wert zum Zeitpunkt $0$ von 1 EUR, der zu $k$ gezahlt wird, $=(1+i)^{-k} = v^{k}$.

i <- 0.03 ; v <- 1 / (1 + i) ; k <- 2
c((1 + i) ^ -k, v  ^ k)

0.9425959 0.9425959

Der Barwert eines Cashflow-Vektors

Wie hoch ist der Wert dieses Cashflow-Vektors bei $k=0$?

Der Barwert eines Cashflow-Vektors

Wie hoch ist der Wert dieses Cashflow-Vektors bei $k=0$?

Der Barwert (PV)!

Der Barwert eines Cashflow-Vektors in R

# Interest rate
i <- 0.03

# Discount factor
v <- 1 / (1 + i)

# Define the discount factors
discount_factors <- v ^ (0:7)

# Cash flow vector
cash_flows <- 
    c(500, 400, 300, rep(200, 5))

# Discounting cash flows
cash_flows * discount_factors

500.0000 388.3495 282.7788 183.0283 
177.6974 172.5218 167.4969 162.6183

# Present value of cash flow vector
present_value <- 
    sum(cash_flows * discount_factors)
present_value

[1] 2034.491

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