Medindo o risco de um portfólio

Introdução à Análise de Portfólios em Python

Charlotte Werger

Data Scientist

Risco de um portfólio

Investir é arriscado: ativos individuais sobem e descem
Retorno esperado é uma variável aleatória
A dispersão dos retornos em torno da média é medida pela variância $\sigma^2$, comum para volatilidade
$\sigma^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^N (X -\mu)^2}{N}$

Risco como um ato de equilíbrio

Variância

A variância de um ativo varia: alguns têm mais ou menos dispersão em torno da média
A variância do portfólio não é só a soma ponderada das variâncias dos ativos
Como os retornos são correlacionados, fica mais complexo

Distribuições com alta e baixa variância

Como variância e correlação afetam o risco do portfólio?

A correlação entre os ativos 1 e 2 é $\rho_{1,2}$ e indica quanto se movem juntos
A variância do portfólio considera as variâncias individuais ($\sigma_1^2, \sigma_2^2, etc$), os pesos ($w_1, w_2$) e a correlação entre eles
O desvio padrão ($\sigma$) é a raiz da variância ($\sigma^2$); ambos medem a volatilidade

Calculando a variância do portfólio

$$ Fórmula da variância do portfólio

$\rho_{1,2} \sigma_1 \sigma_2$ é a covariância entre os ativos 1 e 2
A covariância também pode ser escrita como $ \sigma_{1,2} $
Isso nos permite escrever:

Fórmula da variância do portfólio reescrita

Reescrevendo a variância do portfólio de forma curta

Fórmula da variância do portfólio

Dá para reescrever em notação matricial, mais fácil de usar no código:

Variância do portfólio em notação matricial

Em palavras, o que precisamos calcular em Python é:

Variância do portfólio = Pesos transpostos x (Matriz de covariância x Pesos)

Variância do portfólio em Python

price_data.head(2)

ticker        AAPL       FB        GE       GM       WMT
date                    
2018-03-21    171.270    169.39    13.88    37.58    88.18
2018-03-22    168.845    164.89    13.35    36.35    87.14

# Calcular retornos diários a partir dos preços
daily_returns = df.pct_change()

# Construir a matriz de covariância dos retornos diários
cov_matrix_d = daily_returns.cov()

Variância do portfólio em Python

# Construir a matriz de covariância a partir de daily_returns
cov_matrix_d = (daily_returns.cov())*250
print (cov_matrix_d)

        AAPL          FB          GE          GM          WMT                    
AAPL    0.053569    0.026822    0.013466    0.018119    0.010798
FB      0.026822    0.062351    0.015298    0.017250    0.008765
GE      0.013466    0.015298    0.045987    0.021315    0.009513
GM      0.018119    0.017250    0.021315    0.058651    0.011894
WMT     0.010798    0.008765    0.009513    0.011894    0.041520

weights = np.array([0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2])

Variância do portfólio em Python

# Calcular a variância com a fórmula
port_variance = np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix_a, weights))
print (port_variance)

0.022742232726360567

# Converter o float de variância em porcentagem
print(str(np.round(port_variance, 3) * 100) + '%')

2.3%

port_stddev = np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix_a, weights)))
print(str(np.round(port_stddev, 3) * 100) + '%')
15.1%

Vamos praticar!

Introdução à Análise de Portfólios em Python