Mais sobre autovalores e autovetores

Álgebra Linear para Data Science em R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

O que está acontecendo?

Se os autovalores $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ de $A$ são distintos e $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n$ é um conjunto de autovetores associados, então esse conjunto forma uma base para os vetores de dimensão $n$.
Em outras palavras, se a matriz $A$ tem uma base de autovetores $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ... \vec{v}_n$, com autovalores associados e distintos $\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n$, então todo vetor $n$-dimensional pode ser escrito como combinação linear desses vetores, isto é: $$\vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n.$$

O que está acontecendo?

Aplicando a matriz $A$ a $\vec{x}$ e usando que $A\vec{v}_j = \lambda_j \vec{v}_j$, temos a seguinte decomposição simples:

$$A\vec{x} = c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n.$$

Assim, pares autovalor-autovetor transformam a multiplicação por matriz em uma combinação linear de multiplicações escalares!

Iterando a matriz

Se multiplicarmos iterativamente pela matriz $A$:

$$A A\vec{x} = $$ $$ = A(c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n)$$ $$ = c_1\lambda_1^2\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^2\vec{v}_n,$$

ou, em geral: $$A^t\vec{x} = c_1\lambda_1^t\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^t\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^t\vec{v}_n.$$

Logo, multiplicar sucessivamente por uma matriz não é o mesmo que multiplicar sucessivamente por um escalar (exponenciação)!

Além disso, se um dos autovalores é maior que os demais, essas diferenças serão ampliadas conforme $t$ cresce.

Exemplo com frequências alélicas

print(M)

eigen(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

eigen() decomposition
$`values`
[1] 1.00 0.98 0.97 0.97

$vectors
     [,1] [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -0.5  0.5  0.000000e+00  7.071068e-01
[2,] -0.5 -0.5 -7.071068e-01  1.132427e-14
[3,] -0.5 -0.5  7.071068e-01 -2.442491e-15
[4,] -0.5  0.5 -1.382228e-14 -7.071068e-01

print(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

Lambda <- eigen(M)
v1 <- Lambda$vectors[, 1]/sum(Lambda$vectors[, 1])
print(v1)

0.25 0.25 0.25 0.25

Vamos praticar

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