Resolvendo equações matriz-vetor

Álgebra Linear para Data Science em R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Resolvendo $A\vec{x} = \vec{b}$ usando $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Conferindo a solução substituindo $\vec{x}$:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Que é igual ao $\vec{b}$ dado:

print(b)

1 -2

Condições adicionais para solução única

Assim, a única solução da equação homogênea $A\vec{x} = \vec{0}$ é a solução trivial $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Se $A$ é uma matriz quadrada $n$ por $n$, as condições abaixo são equivalentes e implicam solução única para $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

A matriz $A$ tem inversa (é invertível)
O determinante de $A$ é diferente de zero
As linhas e colunas de $A$ formam uma base do conjunto de todos os vetores com $n$ elementos
A equação homogênea $A\vec{x} = \vec{0}$ tem apenas a solução trivial ($\vec{x} = 0$)

Álgebra Linear para Data Science em R