Transformando problemas não lineares

Introdução à Otimização em Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Maximizar uma função não linear

  • Artista produz até 16 pinturas com custo $C(q) = \sqrt q$, onde $q$ é a quantidade
  • Demanda inversa: $p=\frac{3}{\sqrt q}$, onde $p$ é o preço
  • $\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Mulher pintando em uma tela

Introdução à Otimização em Python

SciPy ou PuLP?

  • SciPy: milp espera um objetivo linear
  • PuLP:
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'
Introdução à Otimização em Python

Substituir para linearizar

  • Substitua $z = \sqrt q$
  • $\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
  • $\rightarrow$ restrição de capacidade $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.
Introdução à Otimização em Python

Orçamento de capital com projetos dependentes

Enunciado do problema

  • Projetos $A$, $B$, $C$; $A$ é pré-requisito de $B$
  • Lucros são respectivamente $V$ = [250, 200, 300]
  • Investimento necessário $I$ = [2000, 1900, 2500] e só há $4600 disponíveis

Modelagem

  • Variáveis binárias $o_A$, $o_B$, $o_C$; indicam a seleção dos projetos

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Ícone de gestão de orçamento

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Linearização: produto de binárias

  • Substitua $o_Ao_B=o_{AB}$
  • Adicione restrições
    • $o_{AB}\leq o_{A}$
    • $o_{AB}\leq o_{B}$
    • $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
  • O problema se reduz a

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

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Alocação de recursos com custo de treinamento

  • Aloque 120 tarefas para minimizar o custo
  • Sênior ($S$), júnior ($J$) e estagiário ($I$)
  • Custo de treinamento do estagiário $500
  • Custo por tarefa $c$ = [30, 40, 5]
  • Vetor $x$: tarefas atribuídas de forma ótima
  • Binária $o$: se o estagiário recebe treinamento
  • $TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Pessoa com lápis ao lado de uma grande lista de tarefas

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Linearização: produto de binária e contínua

  • O método BigM introduz um número grande M
  • Substitui o produto por $z = (5x_I+500)o$
  • Impõe
    • $-oM\leq z \leq oM$
    • $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$
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Vamos praticar!

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