Otimização convexa com restrições de desigualdade

Introdução à Otimização em Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Solução de canto vs. interior

  • Alexia só tem 5 horas de trabalho

$$ w\leq 5$$

  • Duas restrições:
    • 24 horas no dia
    • 5 horas de trabalho
  • As restrições formam um canto
  • Solução interior não é uma interseção

Curvas de indiferença e restrições. A curva de indiferença no nível ótimo passa pela interseção das restrições.

Introdução à Otimização em Python

Fabricante com restrições de capacidade

  • Montadora produz carros idênticos em duas plantas $A$, $B$
    • Quantidades: $q_A$, $q_B$
    • Capacidade: $q_A\leq 90$, $q_B\leq 90$
    • Custo: $C_A(q)=3q$, $C_B(q)=3.5q$
  • Demanda:
    • $P=120-Q$
  • Contrato:
    • $Q\geq 92$
  • Objetivo: maximizar o lucro
    • $\displaystyle\max \Pi(q_A,q_B)$

Linha de fabricação de carros

Introdução à Otimização em Python

Maximizando o lucro

  • Objetivo:
    • $\Pi = R-C$
      • $R = PQ$
Introdução à Otimização em Python

Maximizando o lucro

  • Objetivo:
    • $\Pi = R-C$
      • $R = PQ = (120-Q)Q $
Introdução à Otimização em Python

Maximizando o lucro

  • Objetivo:

    • $\Pi = R-C$
      • $R = PQ = (120-Q)Q=\left[120-(q_A+q_B)\right](q_A+q_B)$
      • $C=C_A+C_B=3q_A+3.5q_B$

  • Limites

    • $0\leq q_A, q_B\leq 90$
  • Restrições
    • $Q\geq92\Leftrightarrow 92\leq q_A+q_B$
Introdução à Otimização em Python

Formulação

$$\max_{q_A,q_B}R(q_A,q_B)-C(q_A,q_B)$$

$$s.t.$$

$$R(q_A,q_B)=\left[120-(q_A+q_B)\right](q_A+q_B)$$

$$\ \ \ \ \ C(q_A,q_B)=3q_A+3.5q_B$$

$$\ \ \ 0\leq q_A, q_B\leq 90$$

$$ \ \ \ \ 92\leq q_A+q_B$$

from scipy.optimize import minimize,\
        Bounds, LinearConstraint


def R(q):
    return (120 - (q[0] + q[1]
       )) * (q[0] + q[1])

def C(q): return 3*q[0] + 3.5*q[1] 

def profit(q): return R(q) - C(q)


bounds = Bounds([0, 0], [90, 90])


constraints = LinearConstraint([1, 1], 
                               lb=92)
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Maximizar lucro com SciPy

result = minimize(lambda q: -profit(q),

                  [50, 50],

                  bounds=bounds,
                  constraints=constraints)

print(result.message)
print(f'The optimal number of cars produced in plant A is: {result.x[0]:.2f}')
print(f'The optimal number of cars produced in plant B is: {result.x[1]:.2f}')
print(f'The firm made: ${-result.fun:.2f}')

Optimization terminated successfully
The optimal number of cars produced in plant A is: 90.00
The optimal number of cars produced in plant B is: 2.00
The firm made: $2299.00
Introdução à Otimização em Python

Restrições não lineares no SciPy

from scipy.optimize import NonlinearConstraint 
import numpy as np


constraints = NonlinearConstraint(lambda q: q[0] + q[1], lb=92, ub=np.inf)


result = minimize(lambda q: -profit(q), 
                  [50, 50], 
                  bounds=Bounds([0, 0], [90, 90]),
                  constraints=constraints)
Introdução à Otimização em Python

Solução com NonlinearConstraint

print(result.message)
print(f'The optimal number of cars produced in plant A is: {result.x[0]:.2f}')
print(f'The optimal number of cars produced in plant B is: {result.x[1]:.2f}')
print(f'The firm made: ${-result.fun:.2f}') 

Optimization terminated successfully
The optimal number of cars produced in plant A is: 90.00
The optimal number of cars produced in plant B is: 2.00
The firm made: $2299.00
  • Use LinearConstraint() para problemas lineares simples
  • Caso contrário, use NonlinearConstraint()
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Vamos praticar!

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