Otimização convexa com restrições

Introdução à Otimização em Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Otimização convexa com restrições

Função convexa.

Restrição: limitação nas variáveis
Curva de indiferença: representa uma combinação de variáveis
Encontre o ponto na curva de indiferença que minimiza ou maximiza a função objetivo

A curva de indiferença

Uma jovem de cabelo escuro trabalha em um laptop

Desenvolvedora de software freelancer
Valoriza trabalho ($w$) e lazer ($l$)

Função utilidade:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

Plotando a curva de indiferença

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

A curva de indiferença

Visualizando a curva de indiferença

Alexia é indiferente à combinação específica de $w$ e $l$

Restrição de tempo

24 horas por dia
Restrição de igualdade linear

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Adicione a restrição ao gráfico:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Curva de indiferença e restrição linear. A curva de indiferença no nível ótimo é tangente à restrição. No ponto de tangência, o gradiente é perpendicular à restrição e à tangente.

Resolvendo com SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Vamos praticar!

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