Regra de Bayes

Fundamentos de Probabilidade em Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Probabilidade de duas jogadas de moeda

P(A e B) para eventos independentes

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

P(A e B) para eventos dependentes

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

P(A e B) para eventos dependentes (Cont.)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A e B) é igual a P(B e A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A e B) é igual a P(B e A) (Cont.)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

Relação de Bayes

$$ $$

Regra de Bayes

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

Probabilidade total

Peças danificadas de todos os fornecedores em um diagrama de Venn

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

Probabilidade total (Cont.)

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Probabilidade total (Cont.)

Peças danificadas de todos os fornecedores em um diagrama de Venn

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Fórmula de Bayes

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Fórmula de Bayes (Cont.)

Fórmula de Bayes:

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Probabilidade de uma peça ser do fornecedor i, dado que está danificada:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

Fórmula de Bayes (Cont.)

Fórmula de Bayes: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
Probabilidade de uma peça ser do fornecedor i, dado que está danificada:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Representação visual da regra de Bayes

Peças danificadas de todos os fornecedores em um diagrama de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Representação visual da regra de Bayes (Cont.)

Peças danificadas do fornecedor 1 em um diagrama de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Representação visual da regra de Bayes (Cont.)

Peças danificadas do fornecedor 1 em um diagrama de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Representação visual da regra de Bayes (Cont.)

Peças danificadas dos fornecedores 1 e 2 em um diagrama de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Representação visual da regra de Bayes (Cont.)

Peças danificadas dos fornecedores 1, 2 e 3 em um diagrama de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Representação visual da regra de Bayes (Cont.)

Peças danificadas dos fornecedores 1, 2 e 3 em um diagrama de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Representação visual da regra de Bayes (Cont.)

Peças danificadas dos fornecedores 1, 2 e 3 em um diagrama de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Representação visual da regra de Bayes (Cont.)

Peças danificadas do fornecedor 1 sobre peças danificadas dos fornecedores 1, 2 e 3 em um diagrama de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

Representação visual da regra de Bayes (Cont.)

Peças danificadas do fornecedor 1 sobre peças danificadas dos fornecedores 1, 2 e 3 em um diagrama de Venn

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Exemplo de fábricas e peças em Python

Uma certa peça eletrônica é fabricada por três fornecedores, V1, V2 e V3.

Metade das peças vem da V1; V2 e V3 produzem 25% cada. A probabilidade de uma peça estar danificada dado que foi produzida pela V1 é 1%, enquanto é 2% para a V2 e 3% para a V3.

Dado que a peça está danificada, qual a probabilidade de ter sido fabricada pela V1?

Exemplo de fábricas e peças em Python (Cont.)

Dado que a peça está danificada, calcule a probabilidade de ter sido fabricada pela V1.

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

Exemplo de fábricas e peças em Python (Cont.)

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # Cálculo de P(V1|D)
print(P_V1_g_D)

Uma peça danificada escolhida ao acaso foi fabricada pela V1 com probabilidade:

0.285714285714

Vamos praticar com Bayes

Fundamentos de Probabilidade em Python