Fundamentos de Probabilidade em Python
Alexander A. Ramírez M.
CEO @ Synergy Vision
Valor esperado: soma dos possíveis resultados ponderados pela sua probabilidade.
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$
O valor esperado de uma variável aleatória discreta é a soma dos possíveis resultados ponderados por sua probabilidade.
No nosso caso, para o lançamento da moeda:
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = \color{red}{0\times (1-p)} + 1\times p = p $$
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = 0\times (1-p) + \color{red}{1\times p} = p $$
Cada $x_i$ é o resultado de um experimento (ex.: um lançamento de moeda, 0 ou 1).
$$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n) $$
Em Python, vamos usar a função scipy.stats.describe() para obter a média aritmética.
scipy.stats.describe()
from scipy.stats import describe describe([0,1]).mean
0.5
Variância é uma medida de dispersão.
É o valor esperado do desvio quadrático em relação ao seu valor esperado.
$$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n}p_i \times (x_i-E(X))^2 $$
Em Python, vamos usar a função scipy.stats.describe() para obter a variância amostral.
describe([0,1]).variance
Para $X\sim Binomial(n, p)$
$$ E(X) = n \times p $$
$$ Var(X) = n \times p \times (1-p) $$
Exemplo: $n=10$ e $p=0.5$
Em Python, vamos usar o método binom.stats() para obter o valor esperado e a variância.
binom.stats()
binom.stats(n=10, p=0.5)
(array(5.), array(2.5))
Quais são o valor esperado e a variância para um lançamento de moeda justa?
binom.stats(n=1, p=0.5)
(array(0.5), array(0.25))
E para uma moeda viciada, com 30% de probabilidade de sucesso?
binom.stats(n=1, p=0.3)
(array(0.3), array(0.21))
Quais são o valor esperado e a variância para 10 lançamentos de moeda justa?
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