Calculando probabilidades de dois eventos

Fundamentos de Probabilidade em Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Independência

Dado que A e B são eventos em um experimento aleatório, as condições para independência de A e B são:

A ordem em que A e B ocorrem não afeta suas probabilidades.
Se A ocorre, isso não afeta a probabilidade de B.
Se B ocorre, isso não afeta a probabilidade de A.

Probabilidade de Cara e Coroa para uma moeda justa

Resultados de dois lançamentos de moeda

Probabilidade para dois lançamentos de moeda

Probabilidade conjunta para dois lançamentos de moeda

Mensurando uma amostra

Gere uma amostra que represente 1000 tentativas de dois lançamentos de uma moeda justa

from scipy.stats import binom
sample = binom.rvs(n=2, p=0.5, size=1000, random_state=1)

array([1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 2,...

Encontre dados repetidos

from scipy.stats import find_repeats
find_repeats(sample)

RepeatedResults(values=array([0., 1., 2.]), counts=array([249, 497, 254]))

Probabilidade de cara ou coroa com viés

Mensurando uma amostra enviesada

Usando os dados biased_sample gerados, calcule a frequência relativa de cada resultado

from scipy.stats import relfreq
relfreq(biased_sample, numbins=3).frequency

array([0.039, 0.317, 0.644])

Cálculo de probabilidade conjunta

$$ $$

	Engine	Gear box
Fails	0.01	0.005
Works	0.99	0.995

$$ $$ $$P(Engine\ fails\ and\ Gear\ box\ fails)=?$$

$$ $$

P_Eng_fail = 0.01
P_GearB_fail = 0.005
P_both_fails = P_Eng_fail*P_GearB_fail
print(P_both_fails)

0.00005

P(A ou B) com cartas

$$P(Jack\ or\ King) = ?$$ Baralho de cartas

P(A ou B) com cartas (Cont.)

$$P(Jack\ or\ King) = \color{red}{P(Jack)}+...$$ Valetes de um baralho $$P(Jack\ or\ King) = \color{red}{\frac{4}{52}}+...$$

P(A ou B) com cartas (Cont.)

$$P(Jack\ or\ King) = P(Jack)+\color{red}{P(King)}$$ Valetes e Reis de um baralho $$P(Jack\ or\ King) = \frac{4}{52}+\color{red}{\frac{4}{52}}$$

P(A ou B) com cartas (Cont.)

$$P(Jack\ or\ King) = P(Jack)+P(King)$$ Valetes e Reis de um baralho $$P(Jack\ or\ King) = \frac{4}{52}+\frac{4}{52}=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}$$

P(A ou B) com cartas (Cont.)

$$P(Jack\ or\ King) = P(Jack)+P(King)$$ Valetes e Reis de um baralho $$P(Jack\ or\ King) = \frac{4}{52}+\frac{4}{52}=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}$$

Probabilidade de A ou B

Diagrama de Venn do evento A

Probabilidade de A ou B (Cont.)

Diagrama de Venn dos eventos A e B

Probabilidade de A ou B (Cont.)

$$P(A\ or\ B) = ?$$ Diagrama de Venn dos eventos A e B

Probabilidade de A ou B (Cont.)

$$P(A\ or\ B) = \color{red}{P(A)}+...$$ Diagrama de Venn de A e B para eventos disjuntos

Probabilidade de A ou B (Cont.)

$$P(A\ or\ B) = P(A) + \color{red}{P(B)}$$ Diagrama de Venn de A e B para eventos disjuntos

P(A ou B) com sobreposição

$$P(Jack\ or\ Heart)=?$$ Valete ou Copas em um baralho

P(A ou B) com sobreposição (Cont.)

$$P(Jack\ or\ Heart) =\color{red}{P(Jack)}+...$$ Valete ou Copas em um baralho $$P(Jack\ or\ Heart) =\color{red}{\frac{4}{52}}+...$$

P(A ou B) com sobreposição (Cont.)

$$P(Jack\ or\ Heart) =P(Jack)+\color{red}{P(Heart)}\ ...$$ Valete ou Copas em um baralho $$P(Jack\ or\ Heart) =\frac{4}{52}+\color{red}{\frac{13}{52}}\ ...$$

P(A ou B) com sobreposição (Cont.)

$$P(Jack\ or\ Heart) =P(Jack)+P(Heart)...$$ Interseção de Valete ou Copas em um baralho $$P(Jack\ or\ Heart) =\frac{4}{52}+\frac{13}{52}...$$

P(A ou B) com sobreposição (Cont.)

$$P(Jack\ or\ Heart) =P(Jack)+P(Heart)-\color{red}{P(Jack\ and\ Heart)}$$ Interseção de Valete ou Copas em um baralho $$P(Jack\ or\ Heart) =\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\color{red}{\frac{1}{52}}$$

P(A ou B) com sobreposição (Cont.)

$$P(Jack\ or\ Heart) =P(Jack)+P(Heart)-P(Jack\ and\ Heart)$$ Interseção de Valete ou Copas em um baralho $$P(Jack\ or\ Heart) =\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$$

Diagrama de P(A ou B)

Diagrama de Venn do evento A

Diagrama de P(A ou B) (Cont.)

Diagrama de Venn dos eventos A e B

Diagrama de P(A ou B) (Cont.)

$$P(A\ or\ B)=?$$ Diagrama de Venn dos eventos A e B

Diagrama de P(A ou B) (Cont.)

$$P(A\ or\ B)=\color{red}{P(A)}+...$$ Diagrama de Venn dos eventos A e B

Diagrama de P(A ou B) (Cont.)

$$P(A\ or\ B)=P(A)+\color{red}{P(B)}\ ...$$ Diagrama de Venn dos eventos A e B

Diagrama de P(A ou B) (Cont.)

$$P(A\ or\ B)=P(A)+P(B)\ ...$$ Diagrama de Venn da interseção de A e B

Diagrama de P(A ou B) (Cont.)

$$P(A\ or\ B)=P(A)+P(B)-\color{red}{P(A\ and\ B)}$$ Probabilidade de A e B no diagrama de Venn

Diagrama de P(A ou B) (Cont.)

$$P(A\ or\ B)=P(A)+P(B)-P(A\ and\ B)$$ Diagrama de Venn da interseção de A e B

Cálculo de P(Jack or Heart) em Python

P_Jack = 4/52
P_Hearts = 13/52
P_Jack_n_Hearts = 1/52
P_Jack_or_Hearts = P_Jack + P_Hearts - P_Jack_n_Hearts
print(P_Jack_or_Hearts)

0.307692307692

Vamos calcular probabilidades de dois eventos

Fundamentos de Probabilidade em Python