Ajustando o modelo de Riscos Proporcionais de Cox

Análise de Sobrevivência em Python

Shae Wang

Senior Data Scientist

Função de risco e taxa de risco

Função de risco $h(t)$: descreve a probabilidade de o evento ocorrer em um tempo, dado que houve sobrevivência até ali.

Taxa de risco: a taxa instantânea de ocorrência do evento

$$h(t)=-\frac{d}{dt}logS(t)$$

A função de risco $h(t)$ e a função de sobrevivência $S(t)$ podem ser obtidas uma da outra.

A suposição de riscos proporcionais

Suposição de riscos proporcionais: os riscos de todos os indivíduos são proporcionais entre si.

No caso dos indivíduos $A$ e $B$: $$h_A(t)=ch_B(t)$$

Há uma função de risco de base e os demais riscos são definidos por fatores de escala.
O impacto relativo na sobrevivência associado a uma variável não muda com o tempo (é invariante no tempo).

Comparação da suposição de riscos proporcionais entre duas curvas de sobrevivência

O modelo de Riscos Proporcionais de Cox

Com base na suposição de riscos proporcionais: $$h(t|x)=b_0(t)exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$$

$b_0(t)$: função de risco de base no nível da população, que muda com o tempo.

$exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$: relação linear entre covariáveis e o log do risco, que NÃO muda com o tempo.

O modelo de Riscos Proporcionais de Cox (Cox PH) é um modelo de regressão que relaciona covariáveis ao tempo até o evento/duração.

Requisitos de dados para o modelo Cox PH

Durações: o tempo de vida/duração dos indivíduos.
Eventos: se o evento foi observado (1=Sim, 0=Não, censurado).
- Se não fornecido, o modelo assume que não há sujeitos censurados.
Covariáveis: variáveis contínuas ou categóricas codificadas em one-hot para a regressão.

Ajustando o modelo Cox PH

Importe e instancie a classe CoxPHFitter

from lifelines import CoxPHFitter
coxph = CoxPHFitter()

Chame .fit() para ajustar o estimador aos dados
```
coxph.fit(df, duration_col, event_col)
```
Acesse outras propriedades para ver o sumário do modelo, covariáveis, coeficientes, prever, plotar etc.
```
coxph.summary()
coxph.predict()
```

Exemplo de modelo Cox PH

DataFrame: mortgage_df
Covariáveis:
- house
- principal
- interest
- property_tax
- credit_score
Outras colunas: duration, paid_off

from lifelines import CoxPHFitter

coxph = CoxPHFitter()
coxph.fit(df=mortgage_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off")

Modelo personalizado

Filtrar o DataFrame:

new_df = mortgage_df.loc[:, 
          mortgage_df.columns!="house"]
coxph.fit(df=new_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off")

Usar o parâmetro formula:

coxph.fit(df=mortgage_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off",
          formula="principal + interest 
          + property_tax + credit_score")

Mais prático e claro, mas não escala para muitas covariáveis.

Interpretar coeficientes

print(coxph.summary)

<lifelines.CoxPHFitter: fitted with 1808 observations, 340 censored>
                        coef  exp(coef)  se(coef)      z       p
covariate house        -0.38       0.68      0.19. -1.98    0.05
          principal    -0.06       0.94      0.02  -2.61    0.01
          interest      0.31       1.37      0.31   1.02    0.31
          property_tax -0.15       0.86      0.21  -0.71    0.48
          credit_score -0.43       0.65      0.38  -1.14.   0.26

Razão de risco (hazard ratio): $e^{coef}$
- Um aumento de uma unidade em interest a partir do seu valor mediano -> o risco muda por um fator de $e^{0.31}=1.37$, ou seja, aumento de 37% em relação ao risco de base.

Vamos praticar!

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