A distribuição normal

Gerenciamento de Risco Quantitativo em R

Alexander McNeil

Professor, University of York

Definição de normal

  • Se fatores de risco seguem GBM, então os log-retornos devem ser normais e independentes
  • É o caso?
  • Uma variável x é normal se tem densidade:

$$f_X(x) = {{1} \over {\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-{{(x-\mu)^2} \over {\sigma ^ 2}}} $$

  • Depende de dois parâmetros: $\mu$ e $\sigma$
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Propriedades da normal

  • $\mu$ é a média e $\sigma ^ 2$ é a variância
  • Notação usual: $X \sim N(\mu,\sigma ^2)$
  • Parâmetros fáceis de estimar com dados
  • A soma de 2+ variáveis normais independentes também é normal
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Teorema central do limite (TCL)

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Como estimar uma distribuição normal

  • Dados: $X_1,...,X_n$
  • Método dos momentos:

$$\hat{\mu} = {1 \over n} {\sum_{t=1}^n}X_t $$

$$\hat{\sigma}^2_u = {1 \over {n - 1}} {\sum_{t=1}^n}(X_t - \hat{\mu})^2 $$

  • Aplicação aos log-retornos do FTSE em 2008-09
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Exemplo FTSE

head(ftse)

-0.09264548 -0.08178433 -0.07428657 -0.05870079 -0.05637430 -0.05496918

tail(ftse)

0.05266208 0.06006960 0.07742977 0.07936751 0.08469137 0.09384244

mu <- mean(ftse)
sigma <- sd(ftse)
c(mu, sigma)

-0.0003378627  0.0194090385
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Mostrando a normal ajustada

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)

lines(ftse, dnorm(ftse, mean = mu, sd = sigma), col = "red")

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Vamos praticar!

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