Use apenas os dados disponíveis no momento da previsão

Modelos GARCH em R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Previsão de volatilidade aplicando `sigma()` ao objeto `ugarchforecast`

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                        variance.model = list(model = "sGARCH"),
                        distribution.model = "norm")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)
garchforecast <- ugarchforecast(fitORspec = garchfit, n.ahead = 3)
sigma(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.005034754
T+2  0.005127582
T+3  0.005217770
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Estimativa de volatilidade aplicando `sigma()` ao objeto `ugarchfit` (i)

head(sigma(garchfit), 3)

1989-01-04 0.01099465
1989-01-05 0.01129167
1989-01-06 0.01084294

tail(sigma(garchfit), 3)

2017-12-27 0.005051926
2017-12-28 0.004947569
2017-12-29 0.004862908
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Estimativa de volatilidade aplicando sigma() ao objeto ugarchfit (ii)

Look-ahead bias: retornos futuros são usados para estimar a volatilidade.

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Solução para evitar look-ahead bias: estimação rolante

  • Programe um loop for: itere pelos tempos de previsão e use ugarchfit() para estimar o modelo e ugarchforecast() para prever a volatilidade
  • Função nativa ugarchroll() no pacote rugarch
  • Opções:
    • Tamanho da amostra de estimação
    • Frequência de reestimação do modelo
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Janela expansível (expanding)

Use todos os retornos disponíveis no momento da previsão

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Janela móvel (rolling)

Use apenas um número fixo das observações de retorno disponíveis no momento da previsão

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Propriedades da estimação com janela rolante

  • A janela rolante permite se adaptar a mudanças nos parâmetros do modelo
  • O custo computacional de ugarchroll() vem do loop ao longo dos tempos de previsão:
    • Pode ser reduzido reestimando o modelo com menor frequência que a de previsão
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Janela rolante com reestimação

Reduza o custo computacional ao estimar o modelo a cada $K$ observações

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Função ugarchroll

garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

Argumentos a especificar:

  1. Especificação GARCH usada
  2. data: dados de retorno a usar
  3. n.start: tamanho da amostra inicial de estimação
  4. refit.window: como alterar essa amostra no tempo: "moving" ou "expanding
  5. refit.every: com que frequência reestimar o modelo
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Exemplo nos retornos diários EUR/USD (jan/1999–dez/2018)

Para os 4961 retornos EUR/USD com 4961 observações, iniciando em 1999-01-05 e usando uma janela móvel de estimação de 2500 observações:

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Saída com parâmetros variando

O método coef() produz uma lista com os coeficientes estimados em cada estimação

coef(garchroll)[[1]]

$index
"2008-12-08"

$coef
            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
mu     -1.480000e-04 1.330915e-04 -1.11201737 0.2661307
ar1    -2.953484e-03 1.985344e-02 -0.14876432 0.8817396
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000
shape   1.098068e+01 2.609293e+01  0.42082981 0.6738794
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Mudanças entre janelas de estimação

coef(garchroll)[[1]]$coef # 2008-12-08

            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000

coef(garchroll)[[5]]$coef # 2016-11-28

            Estimate   Std. Error      t value     Pr(>|t|)
omega   8.982527e-08 2.639680e-05  0.003402885 9.972849e-01
alpha1  4.149787e-02 2.550381e-01  0.162712424 8.707449e-01
beta1   9.573885e-01 2.195782e-01  4.360125676 1.299878e-05
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Qual é a média e a volatilidade previstas na rolagem?

Para os retornos EUR/USD com n.start = 2500, a primeira previsão é para a observação 2501, ou seja, 2008-12-09:

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Método as.data.frame()

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds, 3)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142

Observação:

  • preds$Mu: série das médias previstas
  • preds$Sigma: série das volatilidades previstas
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Volatilidades previstas

garchvol <- xts(preds$Sigma, order.by = as.Date(rownames(preds)))
plot(garchvol)

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Acurácia das previsões rolantes

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142
2008-12-12 -8.845214e-05 0.01199756    0 10.98068          0 -0.0041201588
2008-12-15 -1.362683e-04 0.01184438    0 10.98068          0 -0.0230532787
2008-12-16 -8.034966e-05 0.01228900    0 10.98068          0 -0.0105720492

Avalie a acurácia de preds$Mu e preds$Sigma comparando com preds$Realized

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Erro quadrático médio de previsão para a média

# Erro de previsão para a média
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
mean(e ^ 2)

3.867998e-05
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Erro quadrático médio de previsão para a variância

# Erro de previsão para a média
e  <- preds$Realized - preds$Mu  

# Erro de previsão para a variância
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2)

6.974161e-09
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Compare dois modelos

GARCH padrão com distribuição t de Student

tgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
     variance.model = list(model = "sGARCH"), distribution.model = "std")
garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

GJR GARCH com distribuição t de Student assimétrica 

gjrgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
   variance.model = list(model = "gjrGARCH"), distribution.model = "sstd")
gjrgarchroll <- ugarchroll(gjrgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
            refit.window = "moving", refit.every = 500)
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Comparação da acurácia das previsões

GARCH padrão com distribuição t de Student

preds <- as.data.frame(garchroll)
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # yields 6.974161e-09

GJR GARCH com distribuição t de Student assimétrica 

gjrpreds <- as.data.frame(gjrgarchroll)
e  <- gjrpreds$Realized - gjrpreds$Mu  
d  <- e ^ 2 - gjrpreds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # yields 6.965095e-09
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A prova do pudim é comendo

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