Modelos matemáticos de sistemas dinâmicos

Simulação de Eventos Discretos em Python

Diogo Costa (PhD, MSc)

Adjunct Professor, University of Saskatchewan, Canada & CEO of ImpactBLUE-Scientific

O que é um modelo matemático?

Descrição de um sistema natural ou humano usando conceitos e linguagem matemáticos.

Modelos podem ser classificados como:

Dinâmicos vs. não dinâmicos
Discretos vs. contínuos
Determinísticos vs. probabilísticos (estocásticos)
Lineares vs. não lineares
Outros

Modelos matemáticos podem ser simples ou complexos.

Aproximações digitais da realidade
Impossível capturar todos os processos

George Box: "Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis."

Foto de um rio correndo por uma área rochosa.

Exemplo: modelo para prever processos naturais

Modelo de vazão em um rio

Um gráfico da vazão observada e simulada ao longo do tempo na estação hidrológica de Goaya, na China. O modelo captura os registros observados. A vazão varia bastante no tempo em ambos.

Este modelo prevê a vazão na estação hidrológica de Goaya, China.
A previsão usa a chuva como entrada do modelo.

Outros exemplos

Previsão do tempo
Previsão de ondulação oceânica
Qualidade da água em lagos
Alagamentos urbanos
e muitas outras aplicações

¹ Chen, C., He, W., Zhou, H. et al. A comparative study among machine learning and numerical models for simulating groundwater dynamics in the Heihe River Basin, northwestern China. Sci Rep 10, 3904 (2020). https://doi.org/10.1038/s41598-020-60698-9

Exemplo: modelo para atividades humanas

Prevendo a inflação

Um gráfico dos registros de inflação do Reino Unido (2002-2021) e da projeção (2022) feita pelo BNP Paribas. A projeção indica 7% em 2022.

Prever a inflação é crucial para evitar crises econômicas

Outros exemplos

Cadeia de suprimentos
Manufatura
Logística
Projeções econômicas
Transporte
Outros

¹ https://www.ft.com/content/218d35ab-b044-467a-bb62-0d17547a4350

Componentes e estrutura do código

3 componentes principais
Dados de entrada e parâmetros do modelo

# Define model parameters
processes = {"process_1": 5,
             "process_2": 2,
             "process_3": 3}

Configuração da execução

# Simulation period
simulation_time = 365

# Run model
discrete_model(processes, simulation_time)

Mecanismo do modelo

def discrete_model(processes, simulation_time):

  # 1) Run end-condition
  while (time < simulation_time):
      process_names = list(processes.keys())


      # 2) Loop over all processes
      for p in range(len(process_names)):
         process_name_p = process_names[p]


         # 3) Account for effect of each process
         time += processes[process_name_p]

Saídas do modelo

Exemplo de saída de um modelo de eventos discretos para uma atividade de manufatura

=> START OF SIMULATION  (Time = 0 days) 
Time =    6.00 days  |  Process Complete: Transport of raw material
Time =    9.00 days  |  Process Complete: Building components
Time =   11.00 days  |  Process Complete: Assembling parts
Time =   14.00 days  |  Process Complete: Selling product
=> COMPLETED: Supply-Chain cycle #1 | Time = 15.5 days
Time =   21.50 days  |  Process Complete: Transport raw material
Time =   24.50 days  | Process Complete: Building components
Time =   26.50 days  |  Process Complete: Assembling parts
Time =   29.50 days  |  Process Complete: Selling product
=> COMPLETED: Supply-Chain cycle #2 | Time = 31.0 days

Visualização de resultados

Visualização gráfica dos resultados: ajuda a achar padrões e pontos de inflexão.
A visualização deve seguir os objetivos da simulação.
Pacotes úteis: matplotlib, seaborn, plotly.

Logotipo da biblioteca Matplotlib. Logotipo da biblioteca Seaborn. Logotipo da biblioteca Plotly.

Exemplos

Gráficos 2D de linha ou dispersão: dados modelados (y) vs. tempo (x)

plt.plot(x, y, color='green', marker='o', 
         markersize=12, linestyle='dashed', 
         linewidth=2)

Histograma para agrupar os dados em x e contar valores por faixa

plt.hist(x, 50, density=True, 
         facecolor='g', alpha=0.75)

Vamos praticar!

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