Distribuições t multivariadas

Distribuições de Probabilidade Multivariadas em R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Parâmetros para distribuições multivariadas

Distribuição	Parâmetro de posição	Parâmetro de escala
Normal	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Skew-normal	`xi`	`Omega`
Skew-t	`xi`	`Omega`

Parâmetros para distribuições multivariadas

Distribuição	Parâmetro de posição	Parâmetro de escala	Graus de liberdade
Normal	`mean`	`sigma`	Não
t	`delta`	`sigma`	Sim
Skew-normal	`xi`	`Omega`	Não
Skew-t	`xi`	`Omega`	Sim

Comparando normal univariada com t univariadas

Comparação

Normal padrão
t com diferentes df

Comparando as caudas das distribuições normal e t

Caudas mais pesadas para o mesmo limite

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

Distribuição	Probabilidade
Normal	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

Notação da distribuição t multivariada

Generalização da distribuição t de Student univariada
- A versão mais usada tem um único grau de liberdade para todas as dimensões e é denotada por

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

Contornos de normais e t bivariadas

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Contornos de uma t com df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

Contornos de uma normal bivariada

Funções para distribuições t multivariadas

Funções incluem:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Gerando amostras aleatórias

Gere amostras de uma t 3D com $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Comparando com amostras normais

Distribuição t com 4 graus de liberdade

Distribuição normal

Comparando com amostras normais

Distribuição t com 10 graus de liberdade

Distribuição normal

Vamos gerar amostras de uma t multivariada!

Distribuições de Probabilidade Multivariadas em R