Distribuição acumulada e CDF inversa

Distribuições de Probabilidade Multivariadas em R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Quando precisamos calcular CDF e CDF inversa?

Densidade normal com $\mu=210$ e $\sigma=10$

Quando precisamos calcular CDF e CDF inversa?

Área sob a curva para $x < 200$

Quando precisamos calcular CDF e CDF inversa?

pnorm(200, mean = 210, sd = 10)

[1] 0.159

Quando precisamos calcular CDF e CDF inversa?

Qual é o $x_0$ tal que a probabilidade acumulada em $x_0$ é 0,95?


qnorm( p = 0.95, mean = 210, sd = 10)


[1] 226.45

$\Rightarrow$ 95% dos potes de café terão menos de 226.45 gramas de café

Distribuição acumulada para uma normal bivariada

CDF bivariada em x = 2 e y = 4 para uma normal com ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{pmatrix}}$

Distribuição acumulada usando pmvnorm

CDF bivariada em x = 2 e y = 4 para uma normal com ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 2), 2)

pmvnorm(upper = c(2, 4), mean = mu1, sigma = sigma1)

[1] 0.79
attr(,"error")
[1] 1e-15
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

Probabilidade entre dois valores usando pmvnorm

Probabilidade de $ 1 < x <2$ e $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

Probabilidade entre dois valores usando pmvnorm

Probabilidade de $ 1 < x <2$ e $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

[1] 0.163

CDF inversa para normal bivariada

A elipse vermelha escura é o quantil 0,95

qmvnorm

Implementando qmvnorm para calcular quantis

sigma1 <- diag(2)
sigma1

     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

qmvnorm(p = 0.95, sigma = sigma1, tail = "both")

$quantile
[1] 2.24
$f.quantile
[1] -1.31e-06
attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

O círculo vermelho com raio 2.24 contém 0,95 da probabilidade

Vamos praticar!

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