Distribuições assimétricas multivariadas

Distribuições de Probabilidade Multivariadas em R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Distribuição multivariada assimétrica: diagrama de dispersão

Dados de citometria de fluxo — side scatter (SSC) e forward scatter (FSC)

Distribuição multivariada assimétrica: gráfico de contorno

Dados de citometria de fluxo — side scatter (SSC) e forward scatter (FSC)

Distribuição skew-normal univariada

O skew-normal geral é denotado por $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ e $\omega$ são os parâmetros de posição e escala

Forma mais simples: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ é o parâmetro de assimetria

Variações da skew-normal univariada

Comparando $SN(\alpha)$ com a Normal padrão

Para $\alpha>0$, assimetria à direita
Para $\alpha<0$, assimetria à esquerda
$SN(0)$ é igual à Normal padrão

Distribuição skew-normal multivariada

Notação: distribuição skew-normal multivariada tridimensional

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ parâmetro de posição (vetor de comprimento $3$)
$\Omega$ parâmetro variância-covariância (matriz $3 \times 3$)
$\alpha$ parâmetro de assimetria (vetor de comprimento $3$)

Gráfico de contorno: skew-normal bivariada

Skew-normal bivariada

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Funções para a distribuição skew-normal

Da biblioteca sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- É preciso especificar xi, Omega, alpha

Funções para a distribuição skew-t

Da biblioteca sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- É preciso especificar xi, Omega, alpha, nu (graus de liberdade)

Gerando amostras skew-normal

Gere 2000 amostras de uma skew-normal 3D

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Especifique xi, Omega e alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Gerar amostras
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Amostra da distribuição skew-normal

Gerando amostras skew-t

Gere 2000 amostras de uma skew-t 3D com

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Gerar amostras
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Estimação de parâmetros a partir de dados

É preciso um algoritmo iterativo para estimar os parâmetros de uma skew-normal
- Não há equação explícita para calcular os parâmetros
Há várias funções no pacote sn, incluindo msn.mle()

Estimação de parâmetros a partir de dados

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

As amostras foram geradas usando:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Vamos praticar!

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