Combinações de itens

Análise de Cesta de Compras em R

Christopher Bruffaerts

Statistician

De volta ao mercado

O que tem na loja?

todos_os_produtos_emoticons

O que vai levar hoje?

pao_3queijos

{"Bread", "Cheese", "Cheese", "Cheese"}

Foco da análise de cesta

pao_queijo

{"Bread", "Cheese"}

Subconjuntos e superconjuntos

Minha loja - conjunto

X = {"Bread", "Butter", "Cheese", "Wine"}

todos_os_produtos_emoticons

Subconjuntos de X - itemsets

Tamanho 0: { ${ \emptyset }$ }
Tamanho 1: {"Bread"}, {"Wine"}, ...
Tamanho 2: {"Bread", "Wine"}, ...

Superconjuntos

{"Bread", "Butter"} superconjunto de {"Bread"}
{"Bread", "Butter", "Cheese", "Wine"} superconjunto de {"Bread", "Butter"}

Grafo de itemsets

Pergunta:

Qual é o conjunto de todos os subconjuntos possíveis de X?

X = {A, B, C, D}

grafo_itemsets

Interseções e uniões

Interseção

{"Bread"} $\cap$ {"Butter"} = $\emptyset$

{"Bread", "Butter"} $\cap$ {"Butter", "Wine"} = {"Butter"}

library(dplyr)
A = c("Bread", "Butter")
B = c("Bread", "Wine")
intersect(A,B)

[1] "Bread"

União

{"Bread"} $\cup$ {"Butter"} = {"Bread", "Butter"}

union(A,B)

[1] "Bread"  "Butter" "Wine"

Quantas cestas de tamanho k?

Pergunta:

Quantos subconjuntos possíveis de tamanho k há em um conjunto de tamanho n?

"n escolhe k"

$${n \choose k} = \dfrac{n!}{(n-k)! k!},$$ onde

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ...\times 2 \times 1$

Exemplo:

Número de cestas com 2 itens distintos da loja:

todos_os_produtos_emoticons

$${4 \choose 2} = \dfrac{4!}{(4-2)! 2!} = 6$$

Quantas cestas possíveis?

Pergunta

Quantas cestas possíveis podem ser criadas de um conjunto de tamanho n?

Binômio de Newton

$$\sum_{k=0}^n{n \choose k} = 2^n$$

2^(n_items)

Exemplo

Número total de cestas:

$$2^4 = 16$$

todos_os_produtos_emoticons

Quantas cestas em R?

Combinações em R

n_items = 4
basket_size = 2
choose(n_items, basket_size)

[1] 6

# Loop por todos os valores possíveis
store = matrix(NA, nrow=5, ncol=2)
for (i in 0:n_items){
  store[i+1,] = c(i, choose(n_items,i))}

Saída

colnames(store)=c("size", "nb_combi")
store

     size nb_combi
[1,]    0        1
[2,]    1        4
[3,]    2        6
[4,]    3        4
[5,]    4        1

Plotando o número de combinações

Tenha uma ideia de como o número de combinações cresce

n_items = 50
fun_nk = function(x) choose(n_items, x)
# Plotando
ggplot(data = data.frame(x = 0),
    mapping = aes(x=x))+
  stat_function(fun = fun_nk)+
  xlim(0, n_items)+
  xlab("Tamanho do subconjunto")+
  ylab("Número de subconjuntos")

distribuicao_combinacoes

Pronto/a para contar?

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